ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 993 Алимов — Подробные Ответы

Найти одну из первообразных функции (993—996).

1. $e^{2x}-\cos 3x$
2. $e^{\frac{x}{4}}+\sin 2x$
3. $2\sin \frac{x}{5}-5e^{2x+\frac{1}{3}}$
4. $f(x) = 3\cos \frac{x}{7} + 2e^{3x-\frac{1}{2}}$
5. $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}+4\sin (4x+2)$
6. $\frac{4}{\sqrt{3x+1}}-\frac{3}{2x-5}$

1. $f(x) = e^{2x} — \cos 3x$;
   $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} — \frac{1}{3}\sin 3x + C$;
2. $f(x) = e^{\frac{x}{4}} + \sin 2x$;
   $F(x) = 1 : \frac{1}{4} \cdot e^{\frac{x}{4}} — \frac{1}{2}\cos 2x = 4e^{\frac{x}{4}} — \frac{1}{2}\cos 2x + C$;
3. $f(x) = 2\sin \frac{x}{5} — 5e^{2x+\frac{1}{3}}$;
   $F(x) = 2 \cdot 1 : \left(-\frac{1}{5}\right) \cdot \cos \frac{x}{5} — 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{2x+\frac{1}{3}}$;
   $F(x) = -10\cos \frac{x}{5} — \frac{5}{2}e^{2x+\frac{1}{3}} + C$;
4. $f(x) = 3\cos \frac{x}{7} + 2e^{3x-\frac{1}{2}}$;
   $F(x) = 3 \cdot 1 : \frac{1}{7} \cdot \sin \frac{x}{7} + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot e^{3x-\frac{1}{2}}$;
   $F(x) = 21\sin \frac{x}{7} + \frac{2}{3}e^{3x-\frac{1}{2}} + C$;
5. $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}} + 4\sin(4x+2) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (x)^{\frac{1}{2}} + 4\sin(4x+2)$;
   $F(x) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{(x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \cos(4x+2)$;
   $F(x) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2x\sqrt{x}}{3} — \cos(4x+2)$;
   $F(x) = \frac{2x\sqrt{x}}{3\sqrt{5}} — \cos(4x+2) + C$;
6. $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3x+1}} — \frac{3}{2x-5} = 4 \cdot (3x+1)^{-\frac{1}{2}} — \frac{3}{2x-5}$;
   $F(x) = 4 \cdot \frac{(3x+1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} — 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \ln(2x-5)$;
   $F(x) = 8\sqrt{3x+1} — \frac{3}{2}\ln(2x-5) + C$

1) Задача 1:

Дано:
$f(x) = e^{2x} — \cos 3x$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Для нахождения первообразной функции $f(x) = e^{2x} — \cos 3x$ будем использовать стандартные правила интегрирования для экспоненциальной и тригонометрической функции.

Интегрируем $e^{2x}$:

Для экспоненциальной функции $e^{ax}$, где $a$ — константа, интеграл равен $\frac{e^{ax}}{a}$.

$$\int e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{2}.$$

Интегрируем $-\cos 3x$:

Для функции $\cos(ax)$, где $a$ — константа, интеграл равен $\frac{\sin(ax)}{a}$.

$$\int -\cos 3x \, dx = -\frac{\sin 3x}{3}.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = \frac{e^{2x}}{2} — \frac{\sin 3x}{3} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{e^{2x}}{2} — \frac{\sin 3x}{3} + C$.

2) Задача 2:

Дано:
$f(x) = e^{\frac{x}{4}} + \sin 2x$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Интегрируем $e^{\frac{x}{4}}$:

Для экспоненциальной функции $e^{ax}$, где $a$ — константа, интеграл равен $\frac{e^{ax}}{a}$.

$$\int e^{\frac{x}{4}} \, dx = 4e^{\frac{x}{4}}.$$

Интегрируем $\sin 2x$:

Для функции $\sin(ax)$, где $a$ — константа, интеграл равен $-\frac{\cos(ax)}{a}$.

$$\int \sin 2x \, dx = -\frac{\cos 2x}{2}.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = 4e^{\frac{x}{4}} — \frac{\cos 2x}{2} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 4e^{\frac{x}{4}} — \frac{\cos 2x}{2} + C$.

3) Задача 3:

Дано:
$f(x) = 2\sin \frac{x}{5} — 5e^{2x + \frac{1}{3}}$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Интегрируем $2 \sin \frac{x}{5}$:

Для функции $\sin(ax)$, где $a$ — константа, интеграл равен $-\frac{\cos(ax)}{a}$.

$$\int 2 \sin \frac{x}{5} \, dx = -\frac{2}{5} \cos \frac{x}{5}.$$

Интегрируем $-5 e^{2x + \frac{1}{3}}$:

Для экспоненциальной функции $e^{ax + b}$, интеграл равен $\frac{e^{ax + b}}{a}$.

$$\int -5 e^{2x + \frac{1}{3}} \, dx = -\frac{5}{2} e^{2x + \frac{1}{3}}.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = -\frac{2}{5} \cos \frac{x}{5} — \frac{5}{2} e^{2x + \frac{1}{3}} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = -\frac{2}{5} \cos \frac{x}{5} — \frac{5}{2} e^{2x + \frac{1}{3}} + C$.

4) Задача 4:

Дано:
$f(x) = 3 \cos \frac{x}{7} + 2e^{3x — \frac{1}{2}}$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Интегрируем $3 \cos \frac{x}{7}$:

Для функции $\cos(ax)$, где $a$ — константа, интеграл равен $\frac{\sin(ax)}{a}$.

$$\int 3 \cos \frac{x}{7} \, dx = 21 \sin \frac{x}{7}.$$

Интегрируем $2e^{3x — \frac{1}{2}}$:

Для экспоненциальной функции $e^{ax + b}$, интеграл равен $\frac{e^{ax + b}}{a}$.

$$\int 2e^{3x — \frac{1}{2}} \, dx = \frac{2}{3} e^{3x — \frac{1}{2}}.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = 21 \sin \frac{x}{7} + \frac{2}{3} e^{3x — \frac{1}{2}} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 21 \sin \frac{x}{7} + \frac{2}{3} e^{3x — \frac{1}{2}} + C$.

5) Задача 5:

Дано:
$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}} + 4 \sin(4x + 2) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (x)^{\frac{1}{2}} + 4 \sin(4x + 2)$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Интегрируем $\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot x^{\frac{1}{2}}$:

Интеграл от $x^{n}$ равен $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ при $n \neq -1$.

$$\int \frac{1}{\sqrt{5}} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3\sqrt{5}} x^{\frac{3}{2}}.$$

Интегрируем $4 \sin(4x + 2)$:

Для $\sin(ax + b)$, интеграл равен $-\frac{\cos(ax + b)}{a}$.

$$\int 4 \sin(4x + 2) \, dx = -\cos(4x + 2).$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = \frac{2}{3\sqrt{5}} x^{\frac{3}{2}} — \cos(4x + 2) + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3\sqrt{5}} x^{\frac{3}{2}} — \cos(4x + 2) + C$.

6) Задача 6:

Дано:
$f(x) = \frac{4}{\sqrt{3x+1}} — \frac{3}{2x-5}$

Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Интегрируем $\frac{4}{\sqrt{3x+1}}$:

Для $(ax + b)^{n}$, интеграл равен $\frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n+1)}$.

$$\int \frac{4}{\sqrt{3x+1}} \, dx = 8 \sqrt{3x+1}.$$

Интегрируем $-\frac{3}{2x-5}$:

Для $\frac{1}{ax + b}$, интеграл равен $\frac{\ln|ax + b|}{a}$.

$$\int -\frac{3}{2x-5} \, dx = -\frac{3}{2} \ln|2x — 5|.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = 8 \sqrt{3x + 1} — \frac{3}{2} \ln|2x — 5| + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 8 \sqrt{3x + 1} — \frac{3}{2} \ln|2x — 5| + C$.