ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 250 Алимов — Подробные Ответы

1. 1,5^(5x-7) = (2/3)^(x+1);
2. 0,75^(2x-3) = (1*1/3)^(5x-1);
3. 5^(x2-5x-6) =1;
4. (1/7)^(x2-2x-2)= 1/7.

1)

$$1.5^{5x-7} = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+1};$$ $$\left(\frac{15}{10}\right)^{5x-7} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-(x+1)};$$ $$\left(\frac{3}{2}\right)^{5x-7} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-x-1};$$ $$5x — 7 = -x — 1;$$ $$6x = 6, \text{отсюда } x = 1;$$

Ответ: $x = 1$.

2)

$$0.75^{2x-3} = \left(1 \frac{1}{3}\right)^{5-x};$$ $$\left(\frac{75}{100}\right)^{2x-3} = \left(\frac{1 \cdot 3 + 1}{3}\right)^{5-x};$$ $$\left(\frac{3}{4}\right)^{2x-3} = \left(\frac{4}{3}\right)^{5-x};$$ $$\left(\frac{3}{4}\right)^{2x-3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-(5-x)};$$ $$2x — 3 = -(5 — x);$$ $$2x — 3 = -5 + x;$$ $$x = -5 + 3 = -2;$$

Ответ: $x = -2$.

3)

$$5^{x^2-5x-6} = 1;$$ $$5^{x^2-5x-6} = 5^0;$$ $$x^2 — 5x — 6 = 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1 \text{ и } x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6;$$

Ответ: $x_1 = -1; \, x_2 = 6$.

4)

$$\left(\frac{1}{7}\right)^{x^2-2x-2} = \frac{1}{7};$$ $$x^2 — 2x — 2 = 1;$$ $$x^2 — 2x — 3 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \text{ и } x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$$

Ответ: $x_1 = -1; \, x_2 = 3$.

1) $1.5^{5x-7} = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}$

Шаг 1: Преобразуем обе стороны уравнения.

• Мы видим, что обе части уравнения представляют собой степенные выражения с различными основаниями. Постараемся привести основания к общему виду.
• $1.5 = \frac{3}{2}$, таким образом, левую часть можно записать как:

  $$1.5^{5x-7} = \left(\frac{3}{2}\right)^{5x-7}$$

• Правая часть выражения уже имеет основание $\frac{2}{3}$. Преобразуем его в $\frac{3}{2}$, используя отрицательную степень:

  $$\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-(x+1)}$$

• Получаем уравнение:

  $$\left(\frac{3}{2}\right)^{5x-7} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-x-1}$$

Шаг 2: Приравняем показатели степеней.

• Поскольку основания одинаковы, можно приравнять показатели степеней:

  $$5x — 7 = -(x + 1)$$

  Раскрываем скобки:

  $$5x — 7 = -x — 1$$

  Приводим подобные члены:

  $$5x + x = 7 — 1$$ $$6x = 6$$

  Разделим обе части на 6:

  $$x = 1$$

Ответ: $x = 1$.

2) $0.75^{2x-3} = \left(1 \frac{1}{3}\right)^{5-x}$

Шаг 1: Преобразуем числа.

• $0.75 = \frac{3}{4}$ и $1 \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Подставляем эти значения в уравнение:

  $$\left(\frac{3}{4}\right)^{2x-3} = \left(\frac{4}{3}\right)^{5-x}$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть.

• Мы видим, что $\left(\frac{4}{3}\right)^{5-x} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-(5-x)}$, так как $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$.

  $$\left(\frac{3}{4}\right)^{2x-3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-(5-x)}$$

Шаг 3: Приравняем показатели степеней.

• Поскольку основания одинаковы, приравняем показатели степеней:

  $$2x — 3 = -(5 — x)$$

  Раскрываем скобки:

  $$2x — 3 = -5 + x$$

  Переносим все переменные на одну сторону:

  $$2x — x = -5 + 3$$ $$x = -2$$

Ответ: $x = -2$.

3) $5^{x^2 — 5x — 6} = 1$

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

• Мы знаем, что любое число, возведённое в нулевую степень, равно 1. То есть, $5^0 = 1$.
• Таким образом, приравниваем показатель степени к 0:

  $$x^2 — 5x — 6 = 0$$

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение.

• Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

  $$D = b^2 — 4ac$$

  где $a = 1$, $b = -5$, и $c = -6$.

  $$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$$

  Находим корни уравнения:

  $$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 7}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = 6$$

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 6$.

4) $\left(\frac{1}{7}\right)^{x^2 — 2x — 2} = \frac{1}{7}$

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

• Мы знаем, что $\left(\frac{1}{7}\right)^1 = \frac{1}{7}$, поэтому приравниваем показатель степени к 1:

  $$x^2 — 2x — 2 = 1$$

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение.

• Переносим 1 на левую часть:

  $$x^2 — 2x — 3 = 0$$

• Находим дискриминант:

  $$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

• Находим корни уравнения:

  $$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

Общие ответы:

1. $x = 1$
2. $x = -2$
3. $x_1 = -1$, $x_2 = 6$
4. $x_1 = -1$, $x_2 = 3$