ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 447 Алимов — Подробные Ответы

Определить знаки чисел sin a, cos а, tg а, если:

1. пи < a < 3 пи/2;
2. 3 пи/2 < a < 7 пи/4;
3. 7 пи/4 < a < 2пи;
4. 2 пи < a < 2,5 пи.

Определить знаки чисел $\sin a$, $\cos a$, $\operatorname{tg} a$, если:

1. $\pi < a < \frac{3}{2}\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в III четверти;
   Ответ: $\sin a < 0$; $\cos a < 0$; $\operatorname{tg} a > 0$.
2. $\frac{3}{2}\pi < a < \frac{7}{4}\pi$;
   $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в IV четверти;
   Ответ: $\sin a < 0$; $\cos a > 0$; $\operatorname{tg} a < 0$.
3. $\frac{7}{4}\pi < a < 2\pi$;
   $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в IV четверти;
   Ответ: $\sin a < 0$; $\cos a > 0$; $\operatorname{tg} a < 0$.
4. $2\pi < a \leqslant 2.5\pi \quad | — 2\pi$;
   $0 < a \leqslant 0.5\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в I четверти;
   Ответ: $\sin a > 0$; $\cos a > 0$; $\operatorname{tg} a > 0$.

Основные сведения:

• Тригонометрическая окружность разбита на 4 четверти:
  

  Четверть	Интервал $a$ (радианы)	$\sin a$	$\cos a$	$\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}$
  I	$0 < a < \frac{\pi}{2}$	$+$	$+$	$+$
  II	$\frac{\pi}{2} < a < \pi$	$+$	$—$	$—$
  III	$\pi < a < \frac{3\pi}{2}$	$—$	$—$	$+$
  IV	$\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$	$—$	$+$	$—$

• Если угол $a$ выходит за пределы $[0, 2\pi)$, его можно привести, прибавляя или вычитая $2\pi$, чтобы определить эквивалентный угол в основном диапазоне.

1) $\pi < a < \frac{3}{2}\pi$ (III четверть)

Шаг 1: Углы $a$ лежат в интервале от $\pi$ (180°) до $\frac{3\pi}{2}$ (270°).

Шаг 2: В III четверти:

• $\sin a < 0$ — синус отрицателен, так как точка находится ниже оси $x$.
• $\cos a < 0$ — косинус отрицателен, так как точка находится слева от оси $y$.
• $\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-}{-} = +$ — тангенс положителен.

Ответ:

$$\sin a < 0; \quad \cos a < 0; \quad \operatorname{tg} a > 0.$$

2) $\frac{3}{2}\pi < a < \frac{7}{4}\pi$

Шаг 1: Сначала проверим значения:

$$\frac{3\pi}{2} = 1.5\pi, \quad \frac{7\pi}{4} = 1.75\pi, \quad 2\pi = 2\pi.$$

Интервал $1.5\pi < a < 1.75\pi$ находится в IV четверти, так как IV четверть — это $1.5\pi < a < 2\pi$.

Шаг 2: В IV четверти:

• $\sin a < 0$ — точка ниже оси $x$.
• $\cos a > 0$ — точка справа от оси $y$.
• $\operatorname{tg} a = \frac{-}{+} = —$ — тангенс отрицателен.

Ответ:

$$\sin a < 0; \quad \cos a > 0; \quad \operatorname{tg} a < 0.$$

3) $\frac{7}{4}\pi < a < 2\pi$

Шаг 1: Значения:

$$\frac{7\pi}{4} = 1.75\pi, \quad 2\pi = 2\pi.$$

Угол $a$ лежит в пределах IV четверти.

Шаг 2: Аналогично предыдущему случаю:

• $\sin a < 0$,
• $\cos a > 0$,
• $\operatorname{tg} a < 0$.

Ответ:

$$\sin a < 0; \quad \cos a > 0; \quad \operatorname{tg} a < 0.$$

4) $2\pi < a \leqslant 2.5\pi \quad | — 2\pi$

Шаг 1: Угол $a$ превышает $2\pi$, приведём его к основному интервалу:

$$a’ = a — 2\pi, \quad 0 < a’ \leqslant 0.5\pi.$$

Шаг 2: $0 < a’ \leqslant \frac{\pi}{2}$ — это I четверть.

Шаг 3: В I четверти:

• $\sin a > 0$,
• $\cos a > 0$,
• $\operatorname{tg} a > 0$.

Ответ:

$$\sin a > 0; \quad \cos a > 0; \quad \operatorname{tg} a > 0.$$