ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1490 Алимов — Подробные Ответы

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х0:

1. f (х) = sin х + cos х, х0 = пи/2;
2. f(x) = cos 3x, х0 = пи/6.

1) $f(x) = \sin x + \cos x$ и $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

$f'(x) = (\sin x)’ + (\cos x)’ = \cos x — \sin x$;

$f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{2} — \sin \frac{\pi}{2} = 0 — 1 = -1$;

Ответ: $k = -1$.

2) $f(x) = \cos 3x$ и $x_0 = \frac{\pi}{6}$;

$f'(x) = (\cos 3x)’ = -3 \sin 3x$;

$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = -3 \sin \frac{3\pi}{6} = -3 \sin \frac{\pi}{2} = -3 \cdot 1 = -3$;

Ответ: $k = -3$.

1)

Дана функция:

$$f(x) = \sin x + \cos x, \quad x_0 = \frac{\pi}{2}$$

Цель: Найти значение производной $f'(x)$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$, то есть найти угловой коэффициент касательной $k$ к графику функции в данной точке.

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция состоит из двух слагаемых, и каждое из них — стандартная элементарная функция. Пользуемся правилом дифференцирования суммы:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}[\sin x] + \frac{d}{dx}[\cos x]$$

Из таблицы производных:

• $\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x$
• $\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$

Подставим:

$$f'(x) = \cos x — \sin x$$

Шаг 2: Подставим $x = \frac{\pi}{2}$

$$f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) — \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

Значения тригонометрических функций:

• $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$
• $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$

Подставляем:

$$f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 — 1 = -1$$

Ответ (1):

$$\boxed{k = -1}$$

2)

Дана функция:

$$f(x) = \cos(3x), \quad x_0 = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция — это сложная функция вида $\cos(u(x))$, где $u(x) = 3x$. Используем правило производной сложной функции (цепное правило):

$$\frac{d}{dx}[\cos(3x)] = \frac{d}{du}[\cos u] \cdot \frac{d}{dx}[3x]$$

• $\frac{d}{du}[\cos u] = -\sin u$
• $\frac{d}{dx}[3x] = 3$

Итак:

$$f'(x) = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)$$

Шаг 2: Подставим $x = \frac{\pi}{6}$

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = -3\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = -3\sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) = -3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

Значение функции:

• $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$

Следовательно:

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = -3 \cdot 1 = -3$$

Ответ (2):

$$\boxed{k = -3}$$

Итоговые ответы:

1. $\boxed{k = -1}$
2. $\boxed{k = -3}$