ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 741 Алимов — Подробные Ответы

Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; 3пи]:

1. tg х > = 3;
2. tg х < 4;
3. tg х < = -4;
4. tg х > -3.

Требуется найти решения неравенства на отрезке $[0; 3\pi]$:

$\operatorname{tg} x \geq 3$;
$\arctg 3 + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;

График функции:

Значения на искомом отрезке:

$$\begin{aligned} & \arctg 3 \leq x_1 < \frac{\pi}{2}; \\ & \arctg 3 + \pi \leq x_2 < \frac{3\pi}{2}; \\ & \arctg 3 + 2\pi \leq x_3 < \frac{5\pi}{2}; \end{aligned}$$

$\operatorname{tg} x < 4$;
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \arctg 4 + \pi n$;

График функции:

$\frac{}{}$Значения на искомом отрезке:

$$\begin{aligned} & 0 \leq x_1 < \arctg 4; \\ & \frac{\pi}{2} < x_2 < \arctg 4 + \pi; \\ & \frac{3\pi}{2} < x_3 < \arctg 4 + 2\pi; \\ & \frac{5\pi}{2} < x_4 < \arctg 4 + 3\pi; \end{aligned}$$

$\operatorname{tg} x \leq -4$;
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \arctg(-4) + \pi n$;
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq -\arctg 4 + \pi n$;

График функции:

Значения на искомом отрезке:

$$\begin{aligned} & \frac{\pi}{2} < x_1 \leq -\arctg 4 + \pi; \\ & \frac{3\pi}{2} < x_2 \leq -\arctg 4 + 2\pi; \\ & \frac{5\pi}{2} < x_3 \leq -\arctg 4 + 3\pi; \end{aligned}$$

$\operatorname{tg} x > -3$;
$\arctg(-3) + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$-\arctg 3 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;

График функции:

Значения на искомом отрезке:

$$\begin{aligned} & 0 \leq x < \frac{\pi}{2}; \\ & -\arctg 3 + \pi < x < \frac{3\pi}{2}; \\ & -\arctg 3 + 2\pi < x < \frac{5\pi}{2}; \\ & -\arctg 3 + 3\pi \leq x \leq 3\pi; \end{aligned}$$

Требуется найти решения неравенств с функцией $\operatorname{tg} x$ на отрезке $[0; 3\pi]$.

1) $\operatorname{tg} x \geq 3$

Шаг 1: Анализ неравенства

Имеем:

$$\operatorname{tg} x \geq 3$$

Нужно найти все $x$ на отрезке $[0, 3\pi]$, при которых значение функции тангенс не меньше 3.

Шаг 2: Свойства функции $\operatorname{tg} x$

• Функция $\operatorname{tg} x$ периодична с периодом $\pi$.
• Имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• На каждом промежутке между асимптотами функция возрастает от $-\infty$ до $+\infty$.

Шаг 3: Обратная функция и границы решения

Рассмотрим уравнение:

$$\operatorname{tg} x = 3$$

Решения этого уравнения имеют вид:

$$x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Значение $\operatorname{arctg} 3$ — это угол, тангенс которого равен 3, приблизительно $1.25$ радиан.

Шаг 4: Решение неравенства

На каждом периоде $\pi$, начиная с $x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n$, тангенс будет больше либо равен 3 до точки асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где функция стремится к $+\infty$.

Следовательно, решения на общем виде будут:

$$\operatorname{arctg} 3 + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 5: Выделение решений на отрезке $[0; 3\pi]$

Периоды $n$ подбираем так, чтобы решения попадали в $[0, 3\pi]$:

• Для $n=0$:

$$\operatorname{arctg} 3 \leq x < \frac{\pi}{2}$$

• Для $n=1$:

$$\operatorname{arctg} 3 + \pi \leq x < \frac{3\pi}{2}$$

• Для $n=2$:

$$\operatorname{arctg} 3 + 2\pi \leq x < \frac{5\pi}{2}$$

Итог решения 1):

$$\boxed{ \begin{aligned} & \operatorname{arctg} 3 \leq x_1 < \frac{\pi}{2} \\ & \operatorname{arctg} 3 + \pi \leq x_2 < \frac{3\pi}{2} \\ & \operatorname{arctg} 3 + 2\pi \leq x_3 < \frac{5\pi}{2} \end{aligned} }$$

2) $\operatorname{tg} x < 4$

Шаг 1: Анализ неравенства

$$\operatorname{tg} x < 4$$

Нужно найти все $x \in [0, 3\pi]$, для которых $\operatorname{tg} x$ строго меньше 4.

Шаг 2: Обратная функция

Решаем уравнение:

$$\operatorname{tg} x = 4$$

Корни:

$$x = \operatorname{arctg} 4 + \pi n$$

Шаг 3: График и анализ решения

• Между асимптотами $x = -\frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ функция растет от $-\infty$ до $+\infty$.
• Для $\operatorname{tg} x < 4$ на каждом промежутке от $-\frac{\pi}{2} + \pi n$ до $\operatorname{arctg} 4 + \pi n$.

Шаг 4: Решение на интервале $[0, 3\pi]$

Подставим $n$, чтобы найти соответствующие промежутки:

• Для $n=0$:

$$0 \leq x < \operatorname{arctg} 4$$

(так как левая граница $-\frac{\pi}{2} + 0 = -\frac{\pi}{2}$ вне интервала, нижняя граница берется с 0)

• Для $n=1$:

$$\frac{\pi}{2} < x < \operatorname{arctg} 4 + \pi$$

• Для $n=2$:

$$\frac{3\pi}{2} < x < \operatorname{arctg} 4 + 2\pi$$

• Для $n=3$:

$$\frac{5\pi}{2} < x < \operatorname{arctg} 4 + 3\pi$$

Итог решения 2):

$$\boxed{ \begin{aligned} & 0 \leq x_1 < \operatorname{arctg} 4 \\ & \frac{\pi}{2} < x_2 < \operatorname{arctg} 4 + \pi \\ & \frac{3\pi}{2} < x_3 < \operatorname{arctg} 4 + 2\pi \\ & \frac{5\pi}{2} < x_4 < \operatorname{arctg} 4 + 3\pi \end{aligned} }$$

3) $\operatorname{tg} x \leq -4$

Шаг 1: Анализ

$$\operatorname{tg} x \leq -4$$

Нужно найти $x$, для которых функция не больше $-4$.

Шаг 2: Обратная функция

Решаем

$$\operatorname{tg} x = -4$$

Корни:

$$x = \operatorname{arctg}(-4) + \pi n = -\operatorname{arctg} 4 + \pi n$$

Шаг 3: Разбиение интервалов

• На промежутке $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$ функция монотонна.
• $\operatorname{tg} x \leq -4$ выполняется на промежутке от левой асимптоты до точки $x = -\operatorname{arctg} 4 + \pi n$:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq -\operatorname{arctg} 4 + \pi n$$

Шаг 4: Выделение решений на $[0; 3\pi]$

Подставляем $n$:

• Для $n=1$:

$$\frac{\pi}{2} < x \leq -\operatorname{arctg} 4 + \pi$$

• Для $n=2$:

$$\frac{3\pi}{2} < x \leq -\operatorname{arctg} 4 + 2\pi$$

• Для $n=3$:

$$\frac{5\pi}{2} < x \leq -\operatorname{arctg} 4 + 3\pi$$

Итог решения 3):

$$\boxed{ \begin{aligned} & \frac{\pi}{2} < x_1 \leq -\operatorname{arctg} 4 + \pi \\ & \frac{3\pi}{2} < x_2 \leq -\operatorname{arctg} 4 + 2\pi \\ & \frac{5\pi}{2} < x_3 \leq -\operatorname{arctg} 4 + 3\pi \end{aligned} }$$

4) $\operatorname{tg} x > -3$

Шаг 1: Анализ

$$\operatorname{tg} x > -3$$

Шаг 2: Обратная функция

Решаем:

$$\operatorname{tg} x = -3$$

Корни:

$$x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi n = -\operatorname{arctg} 3 + \pi n$$

Шаг 3: Анализ решения

• На каждом промежутке между асимптотами $-\frac{\pi}{2} + \pi n$ и $\frac{\pi}{2} + \pi n$ функция $\operatorname{tg} x$ возрастает от $-\infty$ до $+\infty$.
• Решение неравенства будет от точки $-\operatorname{arctg} 3 + \pi n$ до асимптоты $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где функция становится больше $-3$:

$$-\operatorname{arctg} 3 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

В первом периоде на $[0; 3\pi]$ также есть часть интервала до первой асимптоты:

$$0 \leq x < \frac{\pi}{2}$$

Шаг 4: Выделение решений на $[0; 3\pi]$

• Для $n=0$:

$$0 \leq x < \frac{\pi}{2}$$

• Для $n=1$:

$$-\operatorname{arctg} 3 + \pi < x < \frac{3\pi}{2}$$

• Для $n=2$:

$$-\operatorname{arctg} 3 + 2\pi < x < \frac{5\pi}{2}$$

• Для $n=3$:

$$-\operatorname{arctg} 3 + 3\pi \leq x \leq 3\pi$$

Итог решения 4):

$$\boxed{ \begin{aligned} & 0 \leq x < \frac{\pi}{2} \\ & -\operatorname{arctg} 3 + \pi < x < \frac{3\pi}{2} \\ & -\operatorname{arctg} 3 + 2\pi < x < \frac{5\pi}{2} \\ & -\operatorname{arctg} 3 + 3\pi \leq x \leq 3\pi \end{aligned} }$$

Для каждого из четырёх неравенств мы:

• Определили периодичность функции $\operatorname{tg} x$.
• Нашли точки пересечения с соответствующим числом (через обратную функцию $\operatorname{arctg}$).
• Определили интервалы, на которых выполняется неравенство, учитывая асимптоты.
• Ограничили решения отрезком $[0; 3\pi]$.