ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1381 Алимов — Подробные Ответы

1. cos x sin 9x = cos 3x sin7x;
2. sin x cos 5x = sin 9x cos 3x.

$\cos x \cdot \sin 9x = \cos 3x \cdot \sin 7x;$

$$\frac{1}{2} \cdot \left( \sin(9x — x) + \sin(9x + x) \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \sin(7x — 3x) + \sin(7x + 3x) \right);$$ $$\sin 8x + \sin 10x = \sin 4x + \sin 10x;$$ $$\sin 8x — \sin 4x = 0;$$ $$2 \cdot \cos \left( \frac{8x + 4x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{8x — 4x}{2} \right) = 0;$$ $$\cos 6x \cdot \sin 2x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 6x = 0;$$ $$6x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{6} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6};$$

Второе уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}; \quad \frac{\pi n}{2}.$$

$\sin x \cdot \cos 5x = \sin 9x \cdot \cos 3x;$

$$\frac{1}{2} \cdot \left( \sin(x — 5x) + \sin(x + 5x) \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \sin(9x — 3x) + \sin(9x + 3x) \right);$$ $$\sin(-4x) + \sin 6x = \sin 6x + \sin 12x;$$ $$\sin 12x + \sin 4x = 0;$$ $$2 \cdot \sin \left( \frac{12x + 4x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{12x — 4x}{2} \right) = 0;$$ $$\sin 8x \cdot \cos 4x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 8x = 0;$$ $$8x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{8};$$

Второе уравнение:

$$\cos 4x = 0;$$ $$4x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};$$

Ответ:

$$\frac{\pi n}{8}; \quad \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}.$$

Задача 1:

Уравнение:

$$\cos x \cdot \sin 9x = \cos 3x \cdot \sin 7x$$

Для начала используем формулы для произведений тригонометрических функций. Согласно формулам для произведения синуса и косинуса, мы можем преобразовать левую и правую часть уравнения.

Применяем формулу:

$$\cos A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left( \sin(A + B) — \sin(A — B) \right)$$

Шаг 1: Преобразуем обе части уравнения.

Левая часть:

$$\cos x \cdot \sin 9x = \frac{1}{2} \left( \sin(9x + x) — \sin(9x — x) \right)$$ $$= \frac{1}{2} \left( \sin 10x — \sin 8x \right)$$

Правая часть:

$$\cos 3x \cdot \sin 7x = \frac{1}{2} \left( \sin(7x + 3x) — \sin(7x — 3x) \right)$$ $$= \frac{1}{2} \left( \sin 10x — \sin 4x \right)$$

Шаг 2: Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение.

Теперь у нас получается следующее уравнение:

$$\frac{1}{2} \left( \sin 10x — \sin 8x \right) = \frac{1}{2} \left( \sin 10x — \sin 4x \right)$$

Шаг 3: Упростим уравнение.

После умножения обеих сторон на 2, уравнение примет вид:

$$\sin 10x — \sin 8x = \sin 10x — \sin 4x$$

Шаг 4: Вычитаем $\sin 10x$ из обеих сторон.

Получаем:

$$-\sin 8x = -\sin 4x$$ $$\sin 8x = \sin 4x$$

Шаг 5: Используем свойство синуса.

Мы знаем, что если $\sin A = \sin B$, то:

$$A = B + 2\pi n \quad \text{или} \quad A = \pi — B + 2\pi n$$

В нашем случае $A = 8x$ и $B = 4x$, поэтому:

$$8x = 4x + 2\pi n \quad \text{или} \quad 8x = \pi — 4x + 2\pi n$$

Шаг 6: Решаем оба уравнения.

$8x = 4x + 2\pi n$

Вычитаем $4x$ из обеих сторон:

$$4x = 2\pi n$$ $$x = \frac{\pi n}{2}$$

$8x = \pi — 4x + 2\pi n$

Прибавляем $4x$ к обеим сторонам:

$$12x = \pi + 2\pi n$$

Делим обе стороны на 12:

$$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}$$

Шаг 7: Ответ.

Таким образом, мы получили два решения:

$$x = \frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{2}, \quad x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}}$$

Задача 2:

Уравнение:

$$\sin x \cdot \cos 5x = \sin 9x \cdot \cos 3x$$

Как и в первой задаче, используем формулы для произведений синуса и косинуса. Сначала применим ту же формулу, что и ранее для произведения синуса и косинуса:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin(A + B) + \sin(A — B) \right)$$

Шаг 1: Преобразуем обе части уравнения.

Левая часть:

$$\sin x \cdot \cos 5x = \frac{1}{2} \left( \sin(x + 5x) + \sin(x — 5x) \right)$$ $$= \frac{1}{2} \left( \sin 6x + \sin (-4x) \right)$$ $$= \frac{1}{2} \left( \sin 6x — \sin 4x \right)$$

Правая часть:

$$\sin 9x \cdot \cos 3x = \frac{1}{2} \left( \sin(9x + 3x) + \sin(9x — 3x) \right)$$ $$= \frac{1}{2} \left( \sin 12x + \sin 6x \right)$$

Шаг 2: Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение.

Теперь у нас получается следующее уравнение:

$$\frac{1}{2} \left( \sin 6x — \sin 4x \right) = \frac{1}{2} \left( \sin 12x + \sin 6x \right)$$

Шаг 3: Упростим уравнение.

После умножения обеих сторон на 2, уравнение примет вид:

$$\sin 6x — \sin 4x = \sin 12x + \sin 6x$$

Шаг 4: Вычитаем $\sin 6x$ из обеих сторон.

Получаем:

$$-\sin 4x = \sin 12x$$

Шаг 5: Используем свойство синуса.

Поскольку $\sin A = \sin B$, то:

$$A = B + 2\pi n \quad \text{или} \quad A = \pi — B + 2\pi n$$

В нашем случае $A = -4x$ и $B = 12x$, поэтому:

$$-4x = 12x + 2\pi n \quad \text{или} \quad -4x = \pi — 12x + 2\pi n$$

Шаг 6: Решаем оба уравнения.

$-4x = 12x + 2\pi n$

Прибавляем $4x$ к обеим сторонам:

$$0 = 16x + 2\pi n$$ $$16x = -2\pi n$$ $$x = -\frac{\pi n}{8}$$

$-4x = \pi — 12x + 2\pi n$

Прибавляем $12x$ к обеим сторонам:

$$8x = \pi + 2\pi n$$

Делим обе стороны на 8:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Шаг 7: Ответ.

Таким образом, мы получили два решения:

$$x = -\frac{\pi n}{8} \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{x = -\frac{\pi n}{8}, \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}}$$