ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1550 Алимов — Подробные Ответы

Найти производную функции (1550—1553).

1. y=(x5-3×3+2×2-x+3)/x3;
2. y=(6x корень 3 степени x)/ корень x.

$y = \frac{x^5 — 3x^3 + 2x^2 — x + 3}{x^3} = x^2 — 3 + 2x^{-1} — x^{-2} + 3x^{-3}$;

$y'(x) = (x^2)’ — (3)’ + 2(x^{-1})’ — (x^{-2})’ + 3(x^{-3})’$;

$y'(x) = 2x — 0 + 2 \cdot (-1x^{-2}) — (-2x^{-3}) + 3 \cdot (-3x^{-4})$;

$y'(x) = 2x — \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3} — \frac{9}{x^4} = \frac{2x^5 — 2x^2 + 2x — 9}{x^4}$;

$y = \frac{6x^3 \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} = \frac{6x \cdot x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{6x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} = 6x^{\frac{4}{3} — \frac{1}{2}} = 6x^{\frac{5}{6}}$;

$y'(x) = 6 \left( x^{\frac{5}{6}} \right)’ = 6 \cdot \frac{5}{6} x^{\frac{-1}{6}} = 5x^{\frac{-1}{6}} = \frac{5}{\sqrt[6]{x}}$.

Задание 1:

Дано:

$$y = \frac{x^5 — 3x^3 + 2x^2 — x + 3}{x^3} = x^2 — 3 + 2x^{-1} — x^{-2} + 3x^{-3}$$

Нужно найти производную $y'(x)$.

Представление функции $y$:

Преобразуем выражение для $y$ в более удобный вид, используя отрицательные степени:

$$y = x^2 — 3 + 2x^{-1} — x^{-2} + 3x^{-3}$$

Нахождение производной:

Теперь найдем производную каждого члена функции $y$:

• Производная $x^2$ по $x$ равна $2x$.
• Производная константы $-3$ равна $0$.
• Производная $2x^{-1}$ равна $2 \cdot (-1x^{-2}) = -\frac{2}{x^2}$.
• Производная $-x^{-2}$ равна $(-2x^{-3}) = \frac{2}{x^3}$.
• Производная $3x^{-3}$ равна $3 \cdot (-3x^{-4}) = -\frac{9}{x^4}$.

Итак, получаем:

$$y'(x) = 2x — 0 — \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3} — \frac{9}{x^4}$$

Это можно записать в виде:

$$y'(x) = \frac{2x^5 — 2x^2 + 2x — 9}{x^4}$$

Задание 2:

Дано:

$$y = \frac{6x^3 \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} = \frac{6x \cdot x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}}$$

Необходимо упростить выражение и найти производную $y'(x)$.

Упрощение выражения для $y$:

Мы можем упростить дробь, используя правила работы с показателями степеней:

$$y = \frac{6x^{1 + \frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{6x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}}$$

Теперь воспользуемся правилом вычитания показателей степени при делении:

$$y = 6x^{\frac{4}{3} — \frac{1}{2}} = 6x^{\frac{5}{6}}$$

Нахождение производной:

Теперь найдём производную выражения $y = 6x^{\frac{5}{6}}$ по $x$. Для этого используем правило дифференцирования степенной функции $y = ax^n$, где $a$ — константа, а $n$ — степень:

$$y'(x) = 6 \cdot \frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} — 1} = 5x^{\frac{-1}{6}}$$

Это можно записать как:

$$y'(x) = \frac{5}{x^{\frac{1}{6}}} = \frac{5}{\sqrt[6]{x}}$$

Ответы:

1. Для первой задачи:

   $$y'(x) = \frac{2x^5 — 2x^2 + 2x — 9}{x^4}$$

2. Для второй задачи:

   $$y'(x) = \frac{5}{\sqrt[6]{x}}$$