ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1246 Алимов — Подробные Ответы

1. log27(729);
2. log9 (729);
3. log1/3(729).

1. $\log_{27} 729 = \log_{27} 27^2 = 2$;
2. $\log_{9} 729 = \log_{9} 9^3 = 3$;
3. $\log_{\frac{1}{3}} 729 = \log_{\frac{1}{3}} 3^6 = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-6} = -6$

Задача 1: $\log_{27} 729$

Нам нужно найти логарифм числа 729 по основанию 27:

$$\log_{27} 729$$

Шаг 1: Представление 729 и 27 как степени одного и того же числа

Для удобства работы с логарифмами, давайте представим 729 и 27 как степени числа 3, потому что оба числа являются степенями 3:

$$27 = 3^3 \quad \text{и} \quad 729 = 3^6$$

Теперь перепишем логарифм с использованием этих степеней:

$$\log_{27} 729 = \log_{3^3} 3^6$$

Шаг 2: Используем формулу логарифма с основанием, выраженным как степень

Когда основание логарифма выражается как степень какого-то числа, мы можем использовать следующую формулу для преобразования:

$$\log_{a^b} c^d = \frac{d}{b} \log_a c$$

Подставляем в нашу задачу:

$$\log_{3^3} 3^6 = \frac{6}{3} \log_3 3$$

Шаг 3: Упрощаем логарифм

Так как $\log_3 3 = 1$, то выражение упрощается:

$$\frac{6}{3} \cdot 1 = 2$$

Ответ для задачи 1: $\log_{27} 729 = 2$

Задача 2: $\log_{9} 729$

Нам нужно найти логарифм числа 729 по основанию 9:

$$\log_{9} 729$$

Шаг 1: Представление 729 и 9 как степени одного и того же числа

Как и в предыдущей задаче, давайте представим 729 и 9 как степени числа 3:

$$9 = 3^2 \quad \text{и} \quad 729 = 3^6$$

Теперь перепишем логарифм с использованием этих степеней:

$$\log_{9} 729 = \log_{3^2} 3^6$$

Шаг 2: Используем формулу для преобразования логарифмов

Используем ту же формулу, что и в первой задаче, для преобразования логарифма:

$$\log_{a^b} c^d = \frac{d}{b} \log_a c$$

Подставляем в нашу задачу:

$$\log_{3^2} 3^6 = \frac{6}{2} \log_3 3$$

Шаг 3: Упрощаем логарифм

Поскольку $\log_3 3 = 1$, то выражение упрощается:

$$\frac{6}{2} \cdot 1 = 3$$

Ответ для задачи 2: $\log_{9} 729 = 3$

Задача 3: $\log_{\frac{1}{3}} 729$

Нам нужно найти логарифм числа 729 по основанию $\frac{1}{3}$:

$$\log_{\frac{1}{3}} 729$$

Шаг 1: Представление 729 как степень 3

Как и в предыдущих задачах, представим 729 как степень числа 3:

$$729 = 3^6$$

Теперь перепишем логарифм:

$$\log_{\frac{1}{3}} 3^6$$

Шаг 2: Преобразуем логарифм с основанием $\frac{1}{3}$

Логарифм с основанием $\frac{1}{3}$ можно переписать, используя следующее свойство логарифмов:

$$\log_{\frac{1}{a}} b = -\log_a b$$

Таким образом, наш логарифм можно записать как:

$$\log_{\frac{1}{3}} 3^6 = -\log_3 \left( 3^6 \right)$$

Шаг 3: Используем свойства логарифмов

Используем свойство логарифма, которое гласит, что $\log_a a^n = n$:

$$-\log_3 \left( 3^6 \right) = -6$$

Ответ для задачи 3: $\log_{\frac{1}{3}} 729 = -6$

Итог:

1. $\log_{27} 729 = 2$
2. $\log_{9} 729 = 3$
3. $\log_{\frac{1}{3}} 729 = -6$