ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 677 Алимов — Подробные Ответы

1. tg(пи + arctg5/4);
2. ctg(пи/2 — arctg2).

1. $\operatorname{tg}\left(\pi + \operatorname{arctg} \frac{5}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg} \frac{5}{4}\right) = \frac{5}{4}$;
2. $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} 2\right) = \operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg} 2\right) = 2$

Пункт 1.

$$\operatorname{tg}\left(\pi + \operatorname{arctg} \frac{5}{4}\right) = ?$$

Шаг 1: Понимание функций

• $\operatorname{arctg} y$ — это угол $\theta$, такой, что $\tan \theta = y$, и $\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.
• То есть,

$$\operatorname{arctg} \frac{5}{4} = \alpha, \quad \tan \alpha = \frac{5}{4}.$$

Шаг 2: Используем периодичность тангенса

Функция тангенса периодична с периодом $\pi$, то есть

$$\tan(\theta + \pi) = \tan \theta.$$

Отсюда следует:

$$\operatorname{tg}\left(\pi + \operatorname{arctg} \frac{5}{4}\right) = \operatorname{tg}(\pi + \alpha) = \operatorname{tg} \alpha.$$

Шаг 3: Подставляем значение

Поскольку $\tan \alpha = \frac{5}{4}$, значит

$$\operatorname{tg}\left(\pi + \operatorname{arctg} \frac{5}{4}\right) = \frac{5}{4}.$$

Ответ:

$$\operatorname{tg}\left(\pi + \operatorname{arctg} \frac{5}{4}\right) = \frac{5}{4}.$$

Пункт 2.

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} 2\right) = ?$$

Шаг 1: Обозначим угол

Пусть

$$\beta = \operatorname{arctg} 2.$$

Тогда по определению

$$\tan \beta = 2, \quad \beta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).$$

Шаг 2: Используем формулу котангенса через тангенс

Напомним, что котангенс — это обратная функция к тангенсу:

$$\operatorname{ctg} \theta = \frac{1}{\tan \theta}.$$

Шаг 3: Применяем формулу разности углов

Формула тангенса разности углов:

$$\tan(a — b) = \frac{\tan a — \tan b}{1 + \tan a \cdot \tan b}.$$

Но здесь проще воспользоваться тем, что

$$\operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — \theta \right) = \tan \theta.$$

Это свойство следует из того, что

$$\operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — \theta \right) = \frac{\cos \left( \frac{\pi}{2} — \theta \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{2} — \theta \right)} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta.$$

Шаг 4: Подставляем $\theta = \operatorname{arctg} 2$

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} 2\right) = \tan \left( \operatorname{arctg} 2 \right).$$

Шаг 5: Тангенс арктангенса — это число

По определению обратной функции:

$$\tan \left( \operatorname{arctg} 2 \right) = 2.$$

Ответ:

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} 2\right) = 2.$$

Итог:

1. $\operatorname{tg}\left(\pi + \operatorname{arctg} \frac{5}{4}\right) = \frac{5}{4}$;
2. $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} — \operatorname{arctg} 2\right) = 2$.