ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 406 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство:

$$\frac{1}{{\log }_{a}x-1}+\frac{1}{{\log }_a{x}^2+1}<-\frac{3}{2};$$$$\frac{1}{{\log }_{a}x-1}+\frac{1}{2{\log }_{a}x+1}<-\frac{3}{2};$$

Пусть $y={\log }_{a}x$, тогда:

$$\frac{1}{y-1}+\frac{1}{2y+1}<-\frac{3}{2};$$$$2y+1+y-1+\frac{3}{2}<0;$$$$\frac{3y\cdot 2+3(y-1)(2y+1)}{2(y-1)(2y+1)}<0;$$$$\frac{6y+6y^2+3y-6y-3}{2(y-1)(2y+1)}<0;$$$$\frac{6y^2+3y-3}{2(y-1)(2y+1)}<0;$$$$\frac{3(2y^2+y-1)}{2(y-1)(2y+1)}<0;$$

Разложим многочлен в числителе на множители:

$$2y^2+y-1=0;$$$$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,\text{тогда:}$$$$y_1=\frac{-1-3}{2\cdot 2}=\frac{-4}{4}=-1;$$$$y_2=\frac{-1+3}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=0.5;$$$$(y+1)(y-0.5)=0;$$

Получим неравенство:

$$\frac{(y+1)(y-0.5)}{(y-1)(2y+1)}<0;$$$$(y+1)(y+0.5)(y-0.5)(y-1)<0;$$$$-1<y<-0.5\text{ и }0.5<y<1;$$

Первое значение:

$$-1<{\log }_{a}x<-\frac{1}{2};$$$${\log }_a{a}^{-1}<{\log }_{a}x<{\log }_a{a}^{-\frac{1}{2}};$$

Если $0<a<1$, тогда:

$$a^{-\frac{1}{2}}<x<a^{-1};$$$$\frac{1}{\sqrt{a}}<x<\frac{1}{a};$$

Если $a>1$, тогда:

$$a^{-1}<x<a^{-\frac{1}{2}};$$$$\frac{1}{a}<x<\frac{1}{\sqrt{a}};$$

Второе значение:

$$\frac{1}{2}<{\log }_{a}x<1;$$$${\log }_a{a}^{\frac{1}{2}}<{\log }_{a}x<{\log }_a{a}^1;$$

Если $0<a<1$, тогда:

$$a^1<x<a^{\frac{1}{2}};$$$$a<x<\sqrt{a};$$

Если $a>1$, тогда:

$$a^{\frac{1}{2}}<x<a^1;$$$$\sqrt{a}<x<a;$$

Ответ: если $0<a<1$, тогда $\frac{1}{\sqrt{a}}<x<\frac{1}{a}$ и $a<x<\sqrt{a}$;

если $a>1$, тогда $\frac{1}{a}<x<\frac{1}{\sqrt{a}}$ и $\sqrt{a}<x<a$.

Дано неравенство:

$$\frac{1}{{\log }_{a}x-1}+\frac{1}{{\log }_a{x}^2+1}<-\frac{3}{2};$$

Шаг 1. Область определения

Прежде чем приступать к решению, нужно определить область определения переменной $x$, при которой все выражения в неравенстве имеют смысл.

• Логарифмы ${\log }_{a}x$ и ${\log }_a{x}^2$ определены при $x>0$.
• Знаменатели не должны равняться нулю:

$${\log }_{a}x-1\mathrm{\ne }0⟹{\log }_{a}x\mathrm{\ne }1;$$$${\log }_a{x}^2+1\mathrm{\ne }0⟹{\log }_a{x}^2\mathrm{\ne }-1.$$

Условие ${\log }_{a}x\mathrm{\ne }1$ значит

$$x\mathrm{\ne }{a}^1=a;$$

условие ${\log }_a{x}^2\mathrm{\ne }-1$ значит

$$x^2\mathrm{\ne }{a}^{-1}⟹x\mathrm{\ne }\pm a^{-\frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

Но так как $x>0$, то исключаем из области определения

$$x\mathrm{\ne }{a}^{-\frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Замена переменной

Обозначим

$$y={\log }_{a}x\mathrm{.}$$

Тогда

$${\log }_a{x}^2=2{\log }_{a}x=2y\mathrm{.}$$

Подставляем в исходное неравенство:

$$\frac{1}{y-1}+\frac{1}{2y+1}<-\frac{3}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 3. Приводим левую часть к общему знаменателю

Левая часть — сумма двух дробей:

$$\frac{1}{y-1}+\frac{1}{2y+1}\mathrm{.}$$

Общий знаменатель:

$$(y-1)(2y+1)\mathrm{.}$$

Тогда

$$\frac{2y+1}{(y-1)(2y+1)}+\frac{y-1}{(y-1)(2y+1)}=\frac{(2y+1)+(y-1)}{(y-1)(2y+1)}=\frac{3y}{(y-1)(2y+1)}\mathrm{.}$$

Шаг 4. Переписываем неравенство

Имеем:

$$\frac{3y}{(y-1)(2y+1)}<-\frac{3}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 5. Приводим неравенство к одному знаменателю

Переносим правую часть влево, приводим к общему знаменателю:

$$\frac{3y}{(y-1)(2y+1)}+\frac{3}{2}<0.$$

Приведём второе слагаемое к общему знаменателю:

$$\frac{3}{2}=\frac{3(y-1)(2y+1)}{2(y-1)(2y+1)}\mathrm{.}$$

Тогда неравенство:

$$\frac{3y}{(y-1)(2y+1)}+\frac{3(y-1)(2y+1)}{2(y-1)(2y+1)}<0.$$

Шаг 6. Сложим числители

Общий знаменатель:

$$2(y-1)(2y+1)\mathrm{.}$$

Числитель:

$$2\cdot 3y+3(y-1)(2y+1)=6y+3(y-1)(2y+1)\mathrm{.}$$

Шаг 7. Раскроем скобки в числителе

$$(y-1)(2y+1)=2y^2+y-2y-1=2y^2-y-1.$$

Подставим:

$$6y+3(2y^2-y-1)=6y+6y^2-3y-3=6y^2+3y-3.$$

Шаг 8. Итоговое неравенство

$$\frac{6y^2+3y-3}{2(y-1)(2y+1)}<0.$$

Можно вынести общий множитель в числителе:

$$\frac{3(2y^2+y-1)}{2(y-1)(2y+1)}<0.$$

Шаг 9. Решаем квадратный многочлен в числителе

Решим уравнение:

$$2y^2+y-1=0.$$

Дискриминант:

$$D=1^2-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9.$$

Корни:

$$y_1=\frac{-1-3}{2\cdot 2}=\frac{-4}{4}=-1,$$$$y_2=\frac{-1+3}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\mathrm{0.5.}$$

Разложение:

$$2y^2+y-1=2(y+1)(y-0.5)\mathrm{.}$$

Шаг 10. Запишем все множители

Обозначим знаменатель:

$$(y-1)(2y+1)\mathrm{.}$$

Рассмотрим все корни:

• $y=-1$ (числитель);
• $y=0.5$ (числитель);
• $y=1$ (знаменатель);
• $2y+1=0⟹y=-\frac{1}{2}$ (знаменатель).

Шаг 11. Распишем знак неравенства

Итоговое неравенство:

$$\frac{3\cdot 2(y+1)(y-0.5)}{2(y-1)(2y+1)}<0,$$

или

$$\frac{(y+1)(y-0.5)}{(y-1)(2y+1)}<0.$$

Шаг 12. Разбиваем числовую ось на интервалы по корням:

$$-1,-\frac{1}{2}=-0.5,0.5,1.$$

Шаг 13. Проверяем знак выражения на каждом интервале

• Для $y<-1$, выберем $y=-2$:

$$(y+1)<0,(y-0.5)<0,(y-1)<0,(2y+1)<0.$$

Числитель: отрицательное × отрицательное = положительное;

Знаменатель: отрицательное × отрицательное = положительное;

Дробь $>0$.

• На интервале $(-1,-0.5)$, возьмем $y=-0.75$:

$$(y+1)>0,(y-0.5)<0,(y-1)<0,(2y+1)>0.$$

Числитель: положительное × отрицательное = отрицательное;

Знаменатель: отрицательное × положительное = отрицательное;

Дробь: отрицательное / отрицательное = положительное.

• На интервале $(-0.5,0.5)$, возьмем $y=0$:

$$(y+1)>0,(y-0.5)<0,(y-1)<0,(2y+1)>0.$$

Числитель: положительное × отрицательное = отрицательное;

Знаменатель: отрицательное × положительное = отрицательное;

Дробь: отрицательное / отрицательное = положительное.

• На интервале $(0.5,1)$, возьмем $y=0.75$:

$$(y+1)>0,(y-0.5)>0,(y-1)<0,(2y+1)>0.$$

Числитель: положительное × положительное = положительное;

Знаменатель: отрицательное × положительное = отрицательное;

Дробь: положительное / отрицательное = отрицательное.

• На интервале $y>1$, возьмем $y=2$:

$$(y+1)>0,(y-0.5)>0,(y-1)>0,(2y+1)>0.$$

Числитель: положительное × положительное = положительное;

Знаменатель: положительное × положительное = положительное;

Дробь: положительное / положительное = положительное.

Шаг 14. Итог: где дробь отрицательна?

Дробь отрицательна только на интервале:

$$(0.5,1)\mathrm{.}$$

Шаг 15. Проверка точки $y=-1$ и $y=-0.5$

Так как в точках $-1$ и $0.5$ числитель равен 0, функция равна 0 и неравенство строгое, значит эти точки не включаются.

Шаг 16. Проверяем точки разрыва знаменателя $y=1$ и $y=-0.5$

В этих точках выражение не определено, поэтому они исключаются из решения.

Шаг 17. Подытоживаем решение по $y$

Из предыдущих рассуждений получается, что

$$0.5<y<1.$$

Шаг 18. Возвращаемся к переменной $x$

По определению:

$$y={\log }_{a}x,$$

значит

$$0.5<{\log }_{a}x<1.$$

Шаг 19. Переводим логарифмические неравенства в показательные

Это зависит от основания логарифма $a$:

• Если $a>1$, то логарифмическая функция возрастает, следовательно неравенство сохраняет знак:

$$a^{0.5}<x<a^1,$$

то есть

$$\sqrt{a}<x<a\mathrm{.}$$

• Если $0<a<1$, то логарифмическая функция убывает, поэтому неравенство меняет знак:

$$a^{0.5}>x>a^1,$$

то есть

$$a<x<\sqrt{a}\mathrm{.}$$

Шаг 20. Проверяем исключения из области определения

Исключены из области определения значения

$$x=a,$$

и

$$x=a^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\mathrm{.}$$

Эти точки не входят в ответ, так как делают знаменатели равными нулю.

Шаг 21. Вспоминаем второй интервал из условия (указанный в изначальном решении)

В исходном решении были найдены два интервала:

$$-1<y<-0.5\text{и}0.5<y<1,$$

после уточнения знаков дроби мы видим, что только интервал $0.5<y<1$ даёт отрицательное значение неравенства.

Однако давайте проверим внимательно:

Ранее при вычислении знаков на интервале $(-1,-0.5)$ дробь оказалась положительной. Значит этот интервал не входит в решение.

Итоговое решение:

$$\boxed{{\displaystyle \{\begin{array}{ll}\sqrt{a}<x<a,& \text{если }a>1;\\ a<x<\sqrt{a},& \text{если }0<a<1.\end{array}}}$$