ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 689 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения а, при которых уравнение sin 2х — 2а корень 2 (sin х + cos х) + 1 — 6а2 = О имеет корни, и решить это уравнение.

$$\sin 2x — 2a\sqrt{2} \cdot (\sin x + \cos x) + 1 — 6a^2 = 0;$$ $$\sin \left( \frac{\pi}{2} + 2x — \frac{\pi}{2} \right) — 2a\sqrt{2} \cdot \left( \sin \left( \frac{\pi}{2} + x — \frac{\pi}{2} \right) + \cos x \right) + 1 — 6a^2 = 0;$$ $$1 + \cos \left( 2x — \frac{\pi}{2} \right) — 2a\sqrt{2} \cdot \left( \cos \left( x — \frac{\pi}{2} \right) + \cos x \right) — 6a^2 = 0;$$ $$2 \cdot \frac{1 + \cos \left( 2x — \frac{\pi}{2} \right)}{2} — 2a\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \cos \frac{x — \frac{\pi}{2} + x}{2} \cdot \cos \frac{x — \frac{\pi}{2} — x}{2} — 6a^2 = 0;$$ $$2 \cos^2 \left( x — \frac{\pi}{4} \right) — 4a\sqrt{2} \cdot \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \frac{\pi}{4} — 6a^2 = 0;$$ $$2 \cos^2 \left( x — \frac{\pi}{4} \right) — 4a \cdot \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) — 6a^2 = 0;$$

Пусть $y = \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$, тогда:

$$2y^2 — 4ay — 6a^2 = 0;$$ $$D \equiv 16a^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6a^2 = 16a^2 + 48a^2 = 64a^2, \quad \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{4a — 8a}{2 \cdot 2} = -a, \quad y_2 = \frac{4a + 8a}{2 \cdot 2} = 3a;$$

Уравнение имеет корни при:

$$\begin{cases} -1 \leq -a \leq 1 \\ -1 \leq 3a \leq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -1 \leq a \leq 1 \\ -\frac{1}{3} \leq a \leq \frac{1}{3} \end{cases}$$

Значения корней уравнения при $-\frac{1}{3} \leq a \leq \frac{1}{3}$:

$$x_1 = \frac{\pi}{4} \pm \left( \pi — \arccos a \right) + 2\pi n;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4} \pm \arccos 3a + 2\pi n;$$

Значения уравнения при $\frac{1}{3} < |a| \leq 1$:

$$x = \frac{\pi}{4} \pm \left( \pi — \arccos a \right) + 2\pi n;$$

Дано уравнение:

$$\sin 2x — 2a \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + 1 — 6a^2 = 0,$$

где $a$ — параметр, $x$ — переменная.

Шаг 1. Преобразование $\sin 2x$

Запишем $\sin 2x$ в виде, удобном для дальнейших преобразований, используя сдвиги аргумента:

$$\sin 2x = \sin\left( \frac{\pi}{2} + 2x — \frac{\pi}{2} \right).$$

Это сделано для использования формул сложения и преобразования синусов.

Шаг 2. Аналогично перепишем $\sin x$ как:

$$\sin x = \sin \left( \frac{\pi}{2} + x — \frac{\pi}{2} \right).$$

Шаг 3. Подставим преобразования в уравнение:

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + 2x — \frac{\pi}{2} \right) — 2a \sqrt{2} \left( \sin \left( \frac{\pi}{2} + x — \frac{\pi}{2} \right) + \cos x \right) + 1 — 6a^2 = 0.$$

Шаг 4. Используем формулы для сдвигов синуса:

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = \cos \theta,$$ $$\sin \left( \frac{\pi}{2} + x — \frac{\pi}{2} \right) = \sin x.$$

Однако, в первом слагаемом:

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + 2x — \frac{\pi}{2} \right) = \sin 2x.$$

Второе слагаемое раскрываем:

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + x — \frac{\pi}{2} \right) = \sin x.$$

Шаг 5. Применяем формулу $\sin(\alpha) = \cos(\beta)$ к первому слагаемому:

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + 2x — \frac{\pi}{2} \right) = \sin 2x = \cos \left( 2x — \frac{\pi}{2} \right).$$

Исправим: фактически $\sin\left( \frac{\pi}{2} + \phi \right) = \cos \phi$.

Так как $\sin(2x) = \cos \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)$, но для удобства продолжим с исходным выражением.

В итоге:

$$1 + \cos \left( 2x — \frac{\pi}{2} \right) — 2a \sqrt{2} \left( \cos \left( x — \frac{\pi}{2} \right) + \cos x \right) — 6a^2 = 0.$$

Шаг 6. Используем формулу двойной суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}.$$

Применяем к $\cos \left( x — \frac{\pi}{2} \right) + \cos x$:

$$2 \cos \frac{x — \frac{\pi}{2} + x}{2} \cos \frac{x — \frac{\pi}{2} — x}{2} = 2 \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \cos \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 7. Подставляем формулы обратно в уравнение:

$$2 \cdot \frac{1 + \cos \left( 2x — \frac{\pi}{2} \right)}{2} — 2a \sqrt{2} \cdot 2 \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \frac{\pi}{4} — 6a^2 = 0.$$

Шаг 8. Упрощаем выражение:

$$2 \cos^2 \left( x — \frac{\pi}{4} \right) — 4a \sqrt{2} \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — 6a^2 = 0.$$

Так как $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то

$$4a \sqrt{2} \cdot \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4a \cdot \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right).$$

Итого:

$$2 \cos^2 \left( x — \frac{\pi}{4} \right) — 4a \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) — 6a^2 = 0.$$

Шаг 9. Вводим замену переменной:

Пусть

$$y = \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right).$$

Тогда уравнение принимает вид квадратичного:

$$2 y^2 — 4 a y — 6 a^2 = 0.$$

Шаг 10. Находим дискриминант:

$$D = (-4 a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6 a^2) = 16 a^2 + 48 a^2 = 64 a^2.$$

Шаг 11. Находим корни уравнения:

$$y_{1,2} = \frac{4 a \pm 8 a}{2 \cdot 2} = \frac{4 a \pm 8 a}{4}.$$

Таким образом:

$$y_1 = \frac{4 a — 8 a}{4} = -a, \quad y_2 = \frac{4 a + 8 a}{4} = 3 a.$$

Шаг 12. Ограничения для корней

Поскольку $y = \cos \theta$, то

$$-1 \leq y \leq 1.$$

Для корней это значит:

$$-1 \leq -a \leq 1 \implies -1 \leq a \leq 1,$$ $$-1 \leq 3a \leq 1 \implies -\frac{1}{3} \leq a \leq \frac{1}{3}.$$

Шаг 13. Итог по значению параметра $a$

Корень $y_2 = 3a$ лежит в интервале $[-1, 1]$ только при

$$-\frac{1}{3} \leq a \leq \frac{1}{3}.$$

Шаг 14. Решение уравнения при $-\frac{1}{3} \leq a \leq \frac{1}{3}$:

Корни:

$$x_1 = \frac{\pi}{4} \pm \left( \pi — \arccos a \right) + 2 \pi n,$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4} \pm \arccos 3 a + 2 \pi n.$$

Шаг 15. Решение уравнения при $\frac{1}{3} < |a| \leq 1$:

Корень $y_2 = 3a$ выходит за границы $[-1,1]$, поэтому:

$$x = \frac{\pi}{4} \pm \left( \pi — \arccos a \right) + 2 \pi n.$$

Итоговое решение:

$$\boxed{ \begin{cases} \text{Если } |a| \leq \frac{1}{3}, \\ x_1 = \frac{\pi}{4} \pm \left( \pi — \arccos a \right) + 2 \pi n, \\ x_2 = \frac{\pi}{4} \pm \arccos 3 a + 2 \pi n; \end{cases} \quad \begin{cases} \text{Если } \frac{1}{3} < |a| \leq 1, \\ x = \frac{\pi}{4} \pm \left( \pi — \arccos a \right) + 2 \pi n. \end{cases} }$$