ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1430 Алимов — Подробные Ответы

1) система

sinx+cosy=1,

sin2x+2sinxcosy=3/4;

2) система

sinx+siny=1/2,

cos2 x+2sinxsiny+ 4 сos2 y=4.

1)

$$\begin{cases} \sin x + \cos y = 1 \\ \sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos y = \frac{3}{4} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \cos y = 1 — \sin x \\ \sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos y — \frac{3}{4} = 0 \end{cases};$$ $$\sin^2 x + 2 \sin x \cdot (1 — \sin x) — \frac{3}{4} = 0;$$ $$\sin^2 x + 2 \sin x — 2 \sin^2 x — \frac{3}{4} = 0 \quad | \cdot (-4);$$ $$4 \sin^2 x — 8 \sin x + 3 = 0;$$

Пусть $a = \sin x$, тогда:

$$4a^2 — 8a + 3 = 0;$$ $$D = 8^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 — 48 = 16, \text{тогда:}$$ $$a_1 = \frac{8 — 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \quad a_2 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2};$$

Первое уравнение:

$$\sin x = \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$\cos y = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2};$$ $$y = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x = \frac{3}{2} \quad \text{— корней нет;}$$

Ответ:

$$\left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n; \quad \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right).$$

2)

$$\begin{cases} \sin x + \sin y = \frac{1}{2} \\ \cos^2 x + 2 \sin x \cdot \sin y + 4 \cos^2 y = 4 \end{cases} \Rightarrow \quad \sin x = \frac{1}{2} — \sin y;$$ $$\cos^2 x + 2 \sin y \cdot \left( \frac{1}{2} — \sin y \right) + 4 \cos^2 y = 4;$$ $$(1 — \sin^2 x) + \sin y — 2 \sin^2 y + 4 \cos^2 y — 4 = 0;$$ $$1 — \frac{1}{4} + \sin y — \sin^2 y + \sin y — 2 \sin^2 y — 4 \sin^2 y = 0;$$ $$\frac{3}{4} + 2 \sin y — 7 \sin^2 y = 0 \quad | \cdot (-4);$$ $$28 \sin^2 y — 8 \sin y — 3 = 0;$$

Пусть $a = \sin y$, тогда:

$$28a^2 — 8a — 3 = 0;$$ $$D = 8^2 + 4 \cdot 28 \cdot 3 = 64 + 336 = 400, \text{тогда:}$$ $$a_1 = \frac{8 — 20}{2 \cdot 28} = \frac{-12}{56} = -\frac{3}{14}, \quad a_2 = \frac{8 + 20}{2 \cdot 28} = \frac{28}{56} = \frac{1}{2};$$

Первое уравнение:

$$\sin y = -\frac{3}{14};$$ $$y = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{3}{14} + \pi n;$$ $$\sin x = \frac{1}{2} + \frac{3}{14} = \frac{5}{7};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{5}{7} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin y = \frac{1}{2};$$ $$y = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$\sin x = \frac{1}{2} — \frac{1}{2} = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Ответ:

$$\left( (-1)^n \cdot \arcsin \frac{5}{7} + \pi n; \quad (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{3}{14} + \pi n \right);$$ $$(\pi n; \quad (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n).$$

1) Система уравнений:

$$\begin{cases} \sin x + \cos y = 1 \\ \sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos y = \frac{3}{4} \end{cases}$$

Шаг 1. Начнем с первого уравнения:

$$\sin x + \cos y = 1$$

Из этого уравнения выразим $\cos y$ через $\sin x$:

$$\cos y = 1 — \sin x \tag{1}$$

Шаг 2. Теперь подставим $\cos y = 1 — \sin x$ из (1) во второе уравнение:

$$\sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos y = \frac{3}{4}$$

Подставляем значение для $\cos y$:

$$\sin^2 x + 2 \sin x \cdot (1 — \sin x) = \frac{3}{4}$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

$$\sin^2 x + 2 \sin x — 2 \sin^2 x = \frac{3}{4}$$

Шаг 4. Приведем подобные члены:

$$-\sin^2 x + 2 \sin x = \frac{3}{4}$$

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

$$-4 \sin^2 x + 8 \sin x = 3$$

Шаг 5. Переносим все в одну сторону:

$$4 \sin^2 x — 8 \sin x + 3 = 0$$

Шаг 6. Обозначим $a = \sin x$, и перепишем уравнение как квадратное:

$$4a^2 — 8a + 3 = 0$$

Шаг 7. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 — 48 = 16$$

Шаг 8. Находим корни уравнения:

$$a_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 — 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ $$a_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$

Шаг 9. Рассмотрим каждый случай для $\sin x$:

• Для $a_1 = \frac{1}{2}$:

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

Решение для $x$:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Теперь находим $\cos y$ из уравнения $\cos y = 1 — \sin x$:

$$\cos y = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Решение для $y$:

$$y = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

• Для $a_2 = \frac{3}{2}$:

$$\sin x = \frac{3}{2} \quad \text{— корней нет, так как \( \sin x \) не может быть больше 1.}$$

Ответ:

$$\left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n; \quad \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right)$$

2) Система уравнений:

$$\begin{cases} \sin x + \sin y = \frac{1}{2} \\ \cos^2 x + 2 \sin x \cdot \sin y + 4 \cos^2 y = 4 \end{cases}$$

Шаг 1. Из первого уравнения выразим $\sin x$ через $\sin y$:

$$\sin x = \frac{1}{2} — \sin y \tag{2}$$

Шаг 2. Подставим это выражение для $\sin x$ в второе уравнение:

$$\cos^2 x + 2 \sin x \cdot \sin y + 4 \cos^2 y = 4$$

Используем, что $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$ и подставляем в уравнение:

$$(1 — \sin^2 x) + 2 \sin x \cdot \sin y + 4 \cos^2 y = 4$$

Шаг 3. Подставим $\sin x = \frac{1}{2} — \sin y$ из (2):

$$(1 — (\frac{1}{2} — \sin y)^2) + 2 \cdot (\frac{1}{2} — \sin y) \cdot \sin y + 4 \cos^2 y = 4$$

Шаг 4. Раскроем квадрат $(\frac{1}{2} — \sin y)^2$:

$$(\frac{1}{2} — \sin y)^2 = \frac{1}{4} — \sin y + \sin^2 y$$

Подставляем в уравнение:

$$1 — (\frac{1}{4} — \sin y + \sin^2 y) + 2 (\frac{1}{2} — \sin y) \cdot \sin y + 4 \cos^2 y = 4$$

Шаг 5. Упростим выражение:

$$1 — \frac{1}{4} + \sin y — \sin^2 y + \sin y — 2 \sin^2 y + 4 \cos^2 y = 4$$

Упрощаем:

$$\frac{3}{4} + 2 \sin y — 3 \sin^2 y + 4 \cos^2 y = 4$$

Шаг 6. Преобразуем $\cos^2 y = 1 — \sin^2 y$, подставляем:

$$\frac{3}{4} + 2 \sin y — 3 \sin^2 y + 4(1 — \sin^2 y) = 4$$

Упростим:

$$\frac{3}{4} + 2 \sin y — 3 \sin^2 y + 4 — 4 \sin^2 y = 4$$ $$\frac{3}{4} + 2 \sin y — 7 \sin^2 y + 4 = 4$$

Переносим все в одну сторону:

$$\frac{3}{4} + 2 \sin y — 7 \sin^2 y = 0$$

Шаг 7. Умножим обе стороны на 4:

$$3 + 8 \sin y — 28 \sin^2 y = 0$$

Шаг 8. Упрощаем:

$$28 \sin^2 y — 8 \sin y — 3 = 0$$

Шаг 9. Решим это квадратное уравнение. Пусть $a = \sin y$, тогда у нас получается уравнение:

$$28a^2 — 8a — 3 = 0$$

Шаг 10. Найдем дискриминант:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 28 \cdot (-3) = 64 + 336 = 400$$

Шаг 11. Находим корни уравнения:

$$a_1 = \frac{8 — 20}{2 \cdot 28} = \frac{-12}{56} = -\frac{3}{14}$$ $$a_2 = \frac{8 + 20}{2 \cdot 28} = \frac{28}{56} = \frac{1}{2}$$

Шаг 12. Теперь находим соответствующие значения для $y$.

• Для $a_1 = -\frac{3}{14}$:

$$\sin y = -\frac{3}{14}$$ $$y = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{3}{14} + \pi n$$

• Для $a_2 = \frac{1}{2}$:

$$\sin y = \frac{1}{2}$$ $$y = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 13. Теперь для каждого значения $y$ находим $x$.

Для $y_1 = -\frac{3}{14}$, $\sin x = \frac{1}{2} + \frac{3}{14} = \frac{5}{7}$:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{5}{7} + \pi n$$

Для $y_2 = \frac{1}{2}$, $\sin x = \frac{1}{2} — \frac{1}{2} = 0$:

$$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$$

Ответ:

$$\left( (-1)^n \cdot \arcsin \frac{5}{7} + \pi n; \quad (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{3}{14} + \pi n \right)$$ $$(\pi n; \quad (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n).$$