ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 647 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения а, при которых уравнение sin2 х — sin х cos х — 2 cos2 х = а не имеет корней.

$$\sin^2 x — \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = a;$$

Упростим выражение:

$$\sin^2 x — \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x — a (\cos^2 x + \sin^2 x) = 0;$$ $$\sin^2 x — \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x — a \cdot \cos^2 x — a \cdot \sin^2 x = 0;$$ $$\sin^2 x (1 — a) — \sin x \cdot \cos x — \cos^2 x (2 + a) = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$(1 — a) \cdot \operatorname{tg}^2 x — \operatorname{tg} x — (2 + a) = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$(1 — a) y^2 — y — (2 + a) = 0;$$ $$D \equiv 1^2 + 4 (1 — a) (2 + a) = 1 + 4 (2 + a — 2a — a^2) = 1 + 8 — 4a — 4a^2;$$

Уравнение не имеет корней при $D < 0$:

$$9 — 4a — 4a^2 < 0;$$ $$4a^2 + 4a — 9 > 0;$$ $$D_2 = 4^2 + 4 \cdot 4 \cdot 9 = 16 + 144 = 160 = 16 \cdot 10,$$

тогда:

$$a = \frac{-4 \pm 4 \sqrt{10}}{4 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{2};$$ $$\left( a — \frac{-1 — \sqrt{10}}{2} \right) \left( a + \frac{-1 + \sqrt{10}}{2} \right) > 0;$$ $$a < \frac{-1 — \sqrt{10}}{2} \quad \text{или} \quad a > \frac{-1 + \sqrt{10}}{2};$$

Ответ:

$$a < -\frac{1 + \sqrt{10}}{2} \quad \text{или} \quad a > \frac{\sqrt{10} — 1}{2}.$$

Шаг 1. Перепишем исходное уравнение

У нас есть исходное тригонометрическое уравнение:

$$\sin^2 x — \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = a.$$

Наша цель — преобразовать это уравнение в более удобную форму для решения.

Шаг 2. Переносим все в одну сторону

Для упрощения решения, перенесем все члены в одну сторону и приравняем к нулю. Это позволит нам работать с более простым уравнением:

$$\sin^2 x — \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x — a = 0.$$

Шаг 3. Используем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Теперь видим, что выражение включает как $\sin^2 x$, так и $\cos^2 x$. Мы можем использовать известное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1.$$

Теперь подставим это тождество в уравнение:

$$\sin^2 x — \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x — a (\cos^2 x + \sin^2 x) = 0.$$

Так как $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, упростим уравнение:

$$\sin^2 x — \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x — a = 0.$$

Переходя к следующему шагу, умножим и разложим подобные члены.

Шаг 4. Перепишем уравнение

Перепишем уравнение:

$$\sin^2 x (1 — a) — \sin x \cdot \cos x — \cos^2 x (2 + a) = 0.$$

Теперь можно упростить это уравнение. Разделим его на $\cos^2 x$ (при $\cos x \neq 0$):

$$\frac{\sin^2 x (1 — a)}{\cos^2 x} — \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x} — (2 + a) = 0.$$

Так как $\frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x$, мы получаем:

$$(1 — a) \cdot \operatorname{tg}^2 x — \operatorname{tg} x — (2 + a) = 0.$$

Шаг 5. Замена переменной

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда уравнение превращается в квадратное:

$$(1 — a) y^2 — y — (2 + a) = 0.$$

Это квадратное уравнение относительно $y$.

Шаг 6. Вычисление дискриминанта

Теперь найдем дискриминант $D$ для квадратного уравнения:

$$D = (-1)^2 — 4(1 — a)(-(2 + a)) = 1 — 4(1 — a)(2 + a).$$

Раскроем скобки в выражении для дискриминанта:

$$D = 1 — 4 \left( 2 + a — 2a — a^2 \right) = 1 — 4 \left( 2 — a — a^2 \right).$$

Упростим:

$$D = 1 — 8 + 4a + 4a^2 = 4a^2 + 4a — 7.$$

Шаг 7. Условия для отсутствия корней

Уравнение не имеет корней, если дискриминант $D < 0$. Таким образом, получаем неравенство:

$$4a^2 + 4a — 7 < 0.$$

Это квадратное неравенство. Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

$$D_2 = 4^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 16 + 112 = 128.$$

Таким образом, корни уравнения $4a^2 + 4a — 7 = 0$ вычисляются по формуле для корней квадратного уравнения:

$$a = \frac{-4 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8\sqrt{2}}{8} = \frac{-1 \pm 2\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 8. Разбор знаков

Чтобы решить неравенство $4a^2 + 4a — 7 < 0$, определим интервалы для решения этого неравенства. Ищем знаки на промежутках, определяемых корнями:

$$a_1 = \frac{-1 — 2\sqrt{2}}{2}, \quad a_2 = \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{2}.$$

Итак, неравенство $4a^2 + 4a — 7 < 0$ выполняется на интервале:

$$\frac{-1 — 2\sqrt{2}}{2} < a < \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 9. Ответ

Ответ:

$$a < \frac{-1 — 2\sqrt{2}}{2} \quad \text{или} \quad a > \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{2}.$$

Таким образом, для того чтобы уравнение не имело корней, значение параметра $a$ должно удовлетворять этим условиям.