ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 468 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество:

1. (1 — sin2 а) (1 + tg2 а) = 1;
2. sin2 а (1 + ctg2 а) — cos2 а = sin2 а.

Доказать тождество:

$(1 — \sin^2 a)(1 + \tg^2 a) = 1$;

$$\cos^2 a \cdot \left(1 + \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}\right) = 1;$$ $$\cos^2 a \cdot \frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\cos^2 a} = 1;$$ $$\cos^2 a \cdot \frac{1}{\cos^2 a} = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

$\sin^2 a \cdot (1 + \ctg^2 a) — \cos^2 a = \sin^2 a$;

$$\sin^2 a \cdot \left(1 + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}\right) — \cos^2 a = \sin^2 a;$$ $$\sin^2 a + \cos^2 a — \cos^2 a = \sin^2 a;$$ $$\sin^2 a = \sin^2 a;$$

Тождество доказано.

1)

Доказать:

$$(1 — \sin^2 a)(1 + \tg^2 a) = 1$$

Шаг 1: Узнаем тригонометрические тождества

• $1 — \sin^2 a = \cos^2 a$
• $\tg a = \dfrac{\sin a}{\cos a} \Rightarrow \tg^2 a = \dfrac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$

Шаг 2: Подставим в выражение

$$(1 — \sin^2 a)(1 + \tg^2 a) = \cos^2 a \cdot \left(1 + \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}\right)$$

Шаг 3: Приводим к общему знаменателю

$$1 + \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\cos^2 a}$$

Шаг 4: Подставим в основное выражение

$$\cos^2 a \cdot \frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\cos^2 a}$$

Шаг 5: Сократим $\cos^2 a$ в числителе и знаменателе

$$\frac{\cancel{\cos^2 a} (\cos^2 a + \sin^2 a)}{\cancel{\cos^2 a}} = \cos^2 a + \sin^2 a$$

Шаг 6: Используем основное тождество

$$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$$

Тождество доказано.

2)

Доказать:

$$\sin^2 a \cdot (1 + \ctg^2 a) — \cos^2 a = \sin^2 a$$

Шаг 1: Узнаем тождество для котангенса

$$\ctg a = \frac{\cos a}{\sin a} \Rightarrow \ctg^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}$$

Шаг 2: Подставим в выражение

$$\sin^2 a \cdot \left(1 + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}\right) — \cos^2 a$$

Шаг 3: Раскроем скобки

$$= \sin^2 a + \cos^2 a — \cos^2 a$$

Шаг 4: Сократим $\cos^2 a$

$$= \sin^2 a$$

Тождество доказано.

Окончательные выводы:

1. $(1 — \sin^2 a)(1 + \tg^2 a) = 1$ — тождество верно
2. $\sin^2 a (1 + \ctg^2 a) — \cos^2 a = \sin^2 a$ — тождество верно