ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 244 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$\begin{cases} 5^{2x+1} > 625 \\ 11^{6x^2-10x} = 11^{9x-15} \end{cases};$$

Первое неравенство:

$$5^{2x+1} > 625;$$ $$5^{2x+1} > 5^4;$$ $$2x + 1 > 4;$$ $$2x > 3, \text{отсюда } x > 1.5;$$

Второе уравнение:

$$11^{6x^2-10x} = 11^{9x-15};$$ $$6x^2 — 10x = 9x — 15;$$ $$6x^2 — 19x + 15 = 0;$$ $$D = 19^2 — 4 \cdot 6 \cdot 15 = 361 — 360 = 1, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{19 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5;$$ $$x_2 = \frac{19 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3};$$

Ответ: $x = 1 \frac{2}{3}$.

2)

$$\begin{cases} 0.3^{10x^2-47x} = 0.3^{-10x-7} \\ 3.7^{x^2} = 3.7^{0.04} \end{cases};$$

Первое уравнение:

$$0.3^{10x^2-47x} = 0.3^{-10x-7};$$ $$10x^2 — 47x = -10x — 7;$$ $$10x^2 — 37x + 7 = 0;$$ $$D = 37^2 — 4 \cdot 10 \cdot 7 = 1369 — 280 = 1089, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{37 — 33}{2 \cdot 10} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0.2;$$ $$x_2 = \frac{37 + 33}{2 \cdot 10} = \frac{70}{20} = \frac{7}{2} = 3.5;$$

Второе уравнение:

$$3.7^{x^2} = 3.7^{0.04};$$ $$x^2 = 0.04;$$ $$x = \pm 0.2;$$

Ответ: $x = 0.2$.

1) Неравенство и уравнение:

$$\begin{cases} 5^{2x+1} > 625 \\ 11^{6x^2-10x} = 11^{9x-15} \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$5^{2x+1} > 625$$

• 625 — это степень числа 5, а именно:

  $$625 = 5^4$$

  Подставляем это в неравенство:

  $$5^{2x+1} > 5^4$$

• Если основания одинаковые, то неравенство справедливо при выполнении неравенства показателей степеней:

  $$2x + 1 > 4$$

• Убираем 1 с обеих сторон:

  $$2x > 3$$

• Разделим на 2:

  $$x > 1.5$$

Второе уравнение:

$$11^{6x^2 — 10x} = 11^{9x — 15}$$

• Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели:

  $$6x^2 — 10x = 9x — 15$$

• Переносим все элементы в одну сторону:

  $$6x^2 — 10x — 9x + 15 = 0$$ $$6x^2 — 19x + 15 = 0$$

• Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

  $$D = b^2 — 4ac = (-19)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 15 = 361 — 360 = 1$$

• Находим корни уравнения:

  $$x_1 = \frac{-(-19) — \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{19 — 1}{12} = \frac{18}{12} = 1.5$$ $$x_2 = \frac{-(-19) + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{19 + 1}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$$

Ответ для второго уравнения: $x = 1 \frac{2}{3}$.

Ответ для системы:

• $x > 1.5$ из первого неравенства.
• $x = 1.5$ или $x = 1 \frac{2}{3}$ из второго уравнения.

Таким образом, удовлетворяет оба условиям $x = 1 \frac{2}{3}$.

2) Следующая система:

$$\begin{cases} 0.3^{10x^2 — 47x} = 0.3^{-10x — 7} \\ 3.7^{x^2} = 3.7^{0.04} \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$0.3^{10x^2 — 47x} = 0.3^{-10x — 7}$$

• Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели:

  $$10x^2 — 47x = -10x — 7$$

• Переносим все элементы в одну сторону:

  $$10x^2 — 47x + 10x + 7 = 0$$ $$10x^2 — 37x + 7 = 0$$

• Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

  $$D = (-37)^2 — 4 \cdot 10 \cdot 7 = 1369 — 280 = 1089$$

• Находим корни уравнения:

  $$x_1 = \frac{-(-37) — \sqrt{1089}}{2 \cdot 10} = \frac{37 — 33}{20} = \frac{4}{20} = 0.2$$ $$x_2 = \frac{-(-37) + \sqrt{1089}}{2 \cdot 10} = \frac{37 + 33}{20} = \frac{70}{20} = 3.5$$

Ответ для первого уравнения: $x = 0.2$ или $x = 3.5$.

Второе уравнение:

$$3.7^{x^2} = 3.7^{0.04}$$

• Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели:

  $$x^2 = 0.04$$

• Из этого уравнения получаем два возможных значения:

  $$x = \pm 0.2$$

Ответ для системы:

• Из первого уравнения: $x = 0.2$ или $x = 3.5$.
• Из второго уравнения: $x = 0.2$ или $x = -0.2$.

Таким образом, общий ответ для системы: $x = 0.2$.

Ответ:

1. $x = 1 \frac{2}{3}$.
2. $x = 0.2$.