ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 419 Алимов — Подробные Ответы

1. 3пи/2 + 2пиk, k — целое число
2. -3пи/2+ 2пиk, k — целое число;
3. -пи + 2пиk, k — целое число;
4. -пи/4 + 2пиk — целое число.

На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки $P(1; 0)$ на угол $\alpha$:

1) $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число;

$$\alpha_0 = \frac{3\pi}{2} = \left( \frac{180}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{2} \right)^\circ = (90 \cdot 3)^\circ = 270^\circ;$$ $$\alpha_1 = 270^\circ — 360^\circ = -90^\circ;$$

Точка $P$ повернется на угол $90^\circ$, по часовой стрелке:

2) $\alpha = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число;

$$\alpha_0 = -\frac{3\pi}{2} = -\left( \frac{180}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{2} \right)^\circ = -(90 \cdot 3)^\circ = -270^\circ;$$ $$\alpha_1 = 360^\circ — 270^\circ = 90^\circ;$$

Точка $P$ повернется на угол $90^\circ$, против часовой стрелки:

3) $\alpha = -\pi + 2\pi k$, где $k$ — целое число;

$$\alpha_0 = -\pi = -\left( \frac{180}{\pi} \cdot \pi \right)^\circ = -180^\circ;$$

Точка $P$ повернется на угол $180^\circ$:

4) $\alpha = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ — целое число;

$$\alpha_0 = -\frac{\pi}{4} = -\left( \frac{180}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \right)^\circ = -\left( \frac{180}{4} \right)^\circ = -45^\circ;$$

Точка $P$ повернется на угол $45^\circ$, по часовой стрелке:

На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки $P(1; 0)$ на угол $\alpha$:

Введение и постановка задачи

Дана точка $P$ на единичной окружности с координатами $P(1; 0)$. Эта точка лежит на оси $x$ справа, и соответствует углу 0 радиан (или 0°).

Задача — найти координаты точки, которая получается при повороте точки $P$ вокруг начала координат на угол $\alpha$.

Что значит поворот точки на угол $\alpha$?

• Единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат.
• Поворот точки $P$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат означает сдвиг точки вдоль окружности на угол $\alpha$.
• Положительный угол поворота — против часовой стрелки.
• Отрицательный угол поворота — по часовой стрелке.

Математическое описание поворота

Начальные координаты точки $P = (x_0, y_0) = (1, 0)$.

После поворота на угол $\alpha$, новые координаты $P’ = (x’, y’)$ рассчитываются так:

$$x’ = x_0 \cos \alpha — y_0 \sin \alpha = \cos \alpha,$$ $$y’ = x_0 \sin \alpha + y_0 \cos \alpha = \sin \alpha.$$

Так как $y_0 = 0$, формулы упрощаются.

Рассмотрим каждый случай подробно.

1) Угол

$$\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Почему добавляем $2\pi k$?

• Угол $2\pi$ радиан — полный оборот (360°).
• Добавление $2\pi k$ означает полный круг, который не меняет положение точки на окружности.
• Значит, для построения точки достаточно рассмотреть угол

$$\alpha_0 = \frac{3\pi}{2}.$$

Перевод угла в градусы

$$\alpha_0 = \frac{3\pi}{2} = \frac{180}{\pi} \times \frac{3\pi}{2} = 90 \times 3 = 270^\circ.$$

Угол в пределах $[-180^\circ, 180^\circ]$

Чтобы легче понимать направление и величину поворота, вычтем $360^\circ$ из $270^\circ$:

$$\alpha_1 = 270^\circ — 360^\circ = -90^\circ.$$

Значение

• Поворот на $-90^\circ$ — это поворот на 90° по часовой стрелке.
• Точка $P$ повернется на 90° вниз.

Координаты новой точки

$$x’ = \cos \frac{3\pi}{2} = \cos 270^\circ = 0,$$ $$y’ = \sin \frac{3\pi}{2} = \sin 270^\circ = -1.$$

Итог:

Точка после поворота:

$$P^{\mathrm{\prime }}=(0,-1)\mathrm{.}$$

$$P’ = (0, -1).$$

2) Угол

$$\alpha = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Угол без полного оборота

$$\alpha_0 = -\frac{3\pi}{2} = -\frac{180}{\pi} \times \frac{3\pi}{2} = -270^\circ.$$

Приведение угла к $[0^\circ, 360^\circ]$

Чтобы получить положительный угол, добавим $360^\circ$:

$$\alpha_1 = 360^\circ — 270^\circ = 90^\circ.$$

Значение

• Поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки.
• Точка $P$ повернется на 90° вверх.

Координаты новой точки

$$x’ = \cos \left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \cos 90^\circ = 0,$$ $$y’ = \sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \sin 90^\circ = 1.$$

Итог:

Точка после поворота:

$$P’ = (0, 1).$$

3) Угол

$$\alpha = -\pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Угол без полного оборота

$$\alpha_0 = -\pi = -\frac{180}{\pi} \times \pi = -180^\circ.$$

Значение

• Поворот на 180° (направо налево) по окружности.
• Направление поворота — по часовой стрелке, но при 180° это не влияет на конечное положение.

Координаты новой точки

$$x’ = \cos(-\pi) = \cos 180^\circ = -1,$$ $$y’ = \sin(-\pi) = \sin 180^\circ = 0.$$

Итог:

Точка после поворота:

$$P’ = (-1, 0).$$

4) Угол

$$\alpha = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Угол без полного оборота

$$\alpha_0 = -\frac{\pi}{4} = -\frac{180}{\pi} \times \frac{\pi}{4} = -45^\circ.$$

Значение

• Поворот на 45° по часовой стрелке.
• Точка $P$ смещается вправо-вниз по дуге окружности.

Координаты новой точки

$$x’ = \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707,$$ $$y’ = \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707.$$

Итог:

Точка после поворота:

$$P’ \approx (0.707, -0.707).$$

Общий итог:

• Поворот точки $P(1; 0)$ на угол $\alpha$ на единичной окружности можно выразить координатами:

$$P’ = (\cos \alpha, \sin \alpha).$$

• Углы, отличающиеся на $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, задают одинаковое положение точки.
• Положительный угол — поворот против часовой стрелки.
• Отрицательный угол — поворот по часовой стрелке.