ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 506 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение (506—507).

1. 2 cos 40° * cos 50°;
2. 2 sin 25° * sin 65°;
3. sin 2a + (sin a — cos a)2;
4. cos 4a + sin2 2a.

$\mathrm{1.\; 2}\cos {40}^{\circ }\cdot \cos {50}^{\circ }=2\cdot \cos ({90}^{\circ }-{50}^{\circ })\cdot \cos {50}^{\circ }=2\sin {50}^{\circ }\cdot \cos {50}^{\circ }=$

$=\sin (2\cdot {50}^{\circ })=\sin {100}^{\circ }=\sin {80}^{\circ };$

$\mathrm{2.\; 2}\sin {25}^{\circ }\cdot \sin {65}^{\circ }=2\cdot \cos ({90}^{\circ }-{65}^{\circ })\cdot \sin {65}^{\circ }=2\cos {65}^{\circ }\cdot \sin {65}^{\circ }=$

$=\sin (2\cdot {65}^{\circ })=\sin {130}^{\circ }=\sin {50}^{\circ };$

$\mathrm{3.\; sin}2a+(\sin a-\cos a{)}^2=\sin 2a+{\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a-2\sin a\cdot \cos a=$

$=\sin 2a+1-\sin 2a=1;$

$\mathrm{4.\; cos}4a+{\sin }^{2}2a=\cos 4a+{\sin }^{2}2a={\cos }^2\frac{4a}{2}-{\sin }^2\frac{4a}{2}+{\sin }^{2}2a=$

$={\cos }^{2}2a-{\sin }^{2}2a+{\sin }^{2}2a={\cos }^{2}2a$

1) Вычислить

$$2\cos {40}^{\circ }\cdot \cos {50}^{\circ }$$

Шаг 1: Используем преобразование углов

Обрати внимание, что

$${40}^{\circ }={90}^{\circ }-{50}^{\circ }\mathrm{.}$$

Следовательно,

$$\cos {40}^{\circ }=\cos ({90}^{\circ }-{50}^{\circ })\mathrm{.}$$

Шаг 2: Используем формулу для косинуса разности с ${90}^{\circ }$:

$$\cos ({90}^{\circ }-\theta )=\sin \theta \mathrm{.}$$

Значит,

$$\cos {40}^{\circ }=\sin {50}^{\circ }\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставляем:

$$2\cos {40}^{\circ }\cdot \cos {50}^{\circ }=2\sin {50}^{\circ }\cdot \cos {50}^{\circ }\mathrm{.}$$

Шаг 4: Используем формулу синуса двойного угла:

$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \mathrm{.}$$

Подставим $\theta ={50}^{\circ }$:

$$2\sin {50}^{\circ }\cdot \cos {50}^{\circ }=\sin {100}^{\circ }\mathrm{.}$$

Шаг 5: Упростим $\sin {100}^{\circ }$:

$$\sin {100}^{\circ }=\sin ({180}^{\circ }-{80}^{\circ })=\sin {80}^{\circ }\mathrm{.}$$

Итог:

$$2\cos {40}^{\circ }\cdot \cos {50}^{\circ }=\sin {80}^{\circ }\mathrm{.}$$

2) Вычислить

$$2\sin {25}^{\circ }\cdot \sin {65}^{\circ }$$

Шаг 1: Используем тождество для синуса через косинус:

$$\sin {25}^{\circ }=\cos ({90}^{\circ }-{25}^{\circ })=\cos {65}^{\circ }\mathrm{.}$$

Шаг 2: Подставим в выражение:

$$2\sin {25}^{\circ }\cdot \sin {65}^{\circ }=2\cos {65}^{\circ }\cdot \sin {65}^{\circ }\mathrm{.}$$

Шаг 3: Используем формулу синуса двойного угла:

$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta ,$$

где $\theta ={65}^{\circ }$:

$$2\cos {65}^{\circ }\cdot \sin {65}^{\circ }=\sin {130}^{\circ }\mathrm{.}$$

Шаг 4: Упростим $\sin {130}^{\circ }$:

$$\sin {130}^{\circ }=\sin ({180}^{\circ }-{50}^{\circ })=\sin {50}^{\circ }\mathrm{.}$$

Итог:

$$2\sin {25}^{\circ }\cdot \sin {65}^{\circ }=\sin {50}^{\circ }\mathrm{.}$$

3) Вычислить

$$\sin 2a+(\sin a-\cos a{)}^2$$

Шаг 1: Раскроем квадрат:

$$(\sin a-\cos a{)}^2={\sin }^{2}a-2\sin a\cos a+{\cos }^{2}a\mathrm{.}$$

Шаг 2: Подставим в исходное выражение:

$$\sin 2a+{\sin }^{2}a-2\sin a\cos a+{\cos }^{2}a\mathrm{.}$$

Шаг 3: Используем тождество:

$${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1.$$

Значит выражение равно:

$$\sin 2a+1-2\sin a\cos a\mathrm{.}$$

Шаг 4: Напомним формулу синуса двойного угла:

$$\sin 2a=2\sin a\cos a\mathrm{.}$$

Шаг 5: Подставим:

$$\sin 2a+1-\sin 2a=1.$$

Итог:

$$\sin 2a+(\sin a-\cos a{)}^2=1.$$

4) Вычислить

$$\cos 4a+{\sin }^{2}2a$$

Шаг 1: Используем формулу косинуса двойного угла:

$$\cos 4a=\cos (2\cdot 2a)={\cos }^{2}2a-{\sin }^{2}2a\mathrm{.}$$

Шаг 2: Подставим в исходное выражение:

$${\cos }^{2}2a-{\sin }^{2}2a+{\sin }^{2}2a\mathrm{.}$$

Шаг 3: Упростим:

$${\cos }^{2}2a-{\sin }^{2}2a+{\sin }^{2}2a={\cos }^{2}2a\mathrm{.}$$

Итог:

$$\cos 4a+{\sin }^{2}2a={\cos }^{2}2a\mathrm{.}$$