ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 170 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (x+2) > корень (4-x);
2. корень (3+2x) > = корень (x+1);
3. корень (2x-5) < корень (5x+4);
4. корень (3x-2) > x-2;
5. корень (5x+11) > x+3;
6. корень (3-x) < корень (3x-5).

1) $\sqrt{x+2} > \sqrt{4-x}$

$$x + 2 > 4 — x;$$

$$2x > 2;$$

$$x > 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -2;$$

$$4 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 4;$$

Ответ: $1 < x \leq 4$

2) $\sqrt{3+2x} \geq \sqrt{x+1}$

$$3 + 2x \geq x + 1;$$

$$x \geq -2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$3 + 2x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1,5;$$

$$x + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1;$$

Ответ: $x \geq -1$

3) $\sqrt{2x-5} < \sqrt{5x+4}$

$$2x — 5 < 5x + 4;$$

$$-3x < 9;$$

$$x > -3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x — 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 2,5;$$

$$5x + 4 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -0,8;$$

Ответ: $x \geq 2,5$

4) $\sqrt{3x-2} > x — 2$

$$3x — 2 > (x — 2)^2;$$

$$3x — 2 > x^2 — 4x + 4;$$

$$x^2 — 7x + 6 < 0;$$

$D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25$, тогда:

$$x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6;$$

$$(x — 1)(x — 6) < 0;$$

$$1 < x < 6;$$

Выражение имеет смысл при:

$$3x — 2 \geq 0;$$

$$3x \geq 2;$$

$$x \geq \frac{2}{3};$$

Неравенство всегда верно при:

$$x — 2 \leq 0;$$

$$x \leq 2;$$

Ответ: $\frac{2}{3} \leq x < 6$

5) $\sqrt{5x+11} > x + 3$

$$5x + 11 > (x + 3)^2;$$

$$5x + 11 > x^2 + 6x + 9;$$

$$x^2 + x — 2 < 0;$$

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$

$$(x + 2)(x — 1) \leq 0;$$

$$-2 < x < 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$5x + 11 \geq 0;$$

$$5x \geq -11;$$

$$x \geq -2,2;$$

Неравенство всегда верно при:

$$x + 3 \leq 0;$$

$$x \leq -3;$$

Ответ: $-2 < x < 1$

6) $\sqrt{3-x} < \sqrt{3x-5}$

$$3 — x < 3x — 5;$$

$$-4x < -8;$$

$$x > 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$3 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 3;$$

$$3x — 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{5}{3};$$

Ответ: $2 < x \leq 3$

1) $\sqrt{x+2} > \sqrt{4-x}$

Шаг 1: Убираем корни

Чтобы избавиться от корней, нужно возвести обе части неравенства в квадрат. Однако, в данном случае, так как оба корня определены на промежутках, где подкоренные выражения неотрицательны, достаточно просто сравнить их подкоренные выражения:

$$x + 2 > 4 — x$$

Шаг 2: Решаем линейное неравенство

Переносим $-x$ в левую часть, а $2$ — в правую:

$$x + x > 4 — 2$$

$$2x > 2$$

Делим обе части на 2:

$$x > 1$$

Шаг 3: Определяем область допустимых значений (ОДЗ)

Корень определен, если выражение под ним неотрицательно.

1. $x + 2 \geq 0$$\Rightarrow x \geq -2$
2. $4 — x \geq 0$$\Rightarrow x \leq 4$

Шаг 4: Находим пересечение ОДЗ и решения неравенства

$$-2 \leq x \leq 4$$

$$x > 1$$

Пересекаем $x > 1$ и $-2 \leq x \leq 4$:

$$1 < x \leq 4$$

Ответ:  $1 < x \leq 4$

2) $\sqrt{3+2x} \geq \sqrt{x+1}$

Шаг 1: Убираем корни

Так как обе части неравенства — корни, можно просто приравнять подкоренные выражения:

$$3 + 2x \geq x + 1$$

Шаг 2: Решаем линейное неравенство

Переносим $x$ влево, $3$ — вправо:

$$2x — x \geq 1 — 3$$

$$x \geq -2$$

Шаг 3: Определяем ОДЗ

1. $3 + 2x \geq 0$$\Rightarrow 2x \geq -3$$\Rightarrow x \geq -1.5$
2. $x + 1 \geq 0$$\Rightarrow x \geq -1$

Шаг 4: Находим пересечение ОДЗ и решения

$$x \geq -2, \quad x \geq -1.5, \quad x \geq -1$$

Наибольший ограничитель — $x \geq -1$.

Ответ: $x \geq -1$

3) $\sqrt{2x-5} < \sqrt{5x+4}$

Шаг 1: Убираем корни

$$2x — 5 < 5x + 4$$

Шаг 2: Решаем линейное неравенство

Переносим $5x$ влево, $-5$ — вправо:

$$2x — 5 — 5x < 4$$

$$-3x < 9$$

Делим на $-3$ (меняем знак!):

$$x > -3$$

Шаг 3: Определяем ОДЗ

1. $2x — 5 \geq 0$$\Rightarrow 2x \geq 5$$\Rightarrow x \geq 2.5$
2. $5x + 4 \geq 0$$\Rightarrow x \geq -0.8$

Шаг 4: Пересекаем с решением

$$x > -3, \quad x \geq 2.5$$

Наибольшее ограничение — $x \geq 2.5$

Ответ: $x \geq 2.5$

4) $\sqrt{3x-2} > x — 2$

Шаг 1: Убираем корень

$$3x — 2 > (x — 2)^2$$

Шаг 2: Раскрываем квадрат

$$3x — 2 > x^2 — 4x + 4$$

$$3x — 2 — x^2 + 4x — 4 > 0$$

$$x^2 — 7x + 6 < 0$$

Шаг 3: Решаем квадратное неравенство

Находим корни:

$$D = 49 — 24 = 25$$

$$x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6$$

$$(x — 1)(x — 6) < 0$$

По методу интервалов:

$$1 < x < 6$$

Шаг 4: ОДЗ

$3x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$

$x — 2 \leq 0 \Rightarrow x \leq 2$

Пересечение: $\frac{2}{3} \leq x < 6$

Ответ:  $\frac{2}{3} \leq x < 6$

5) $\sqrt{5x+11} > x + 3$

Шаг 1: Убираем корень

$$5x + 11 > (x + 3)^2$$

$$5x + 11 > x^2 + 6x + 9$$

$$x^2 + x — 2 < 0$$

Шаг 2: Решаем квадратное неравенство

Находим корни:

$$D = 1 + 8 = 9$$

$$x_1 = -2, \quad x_2 = 1$$

$$(x + 2)(x — 1) < 0$$

По методу интервалов:

$$-2 < x < 1$$

Шаг 3: ОДЗ

$5x + 11 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2.2$

$x + 3 \leq 0 \Rightarrow x \leq -3$

Пересечение: $-2 < x < 1$

Ответ: $-2 < x < 1$

6) $\sqrt{3-x} < \sqrt{3x-5}$

Шаг 1: Убираем корни

$$3 — x < 3x — 5$$

Шаг 2: Решаем линейное неравенство

$$-4x < -8$$

$$x > 2$$

Шаг 3: ОДЗ

$3 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3$

$3x — 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{5}{3}$

Пересечение: $2 < x \leq 3$

Ответ: $2 < x \leq 3$