ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 582 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. sin (arccos1/3 + arccos 2 корень 2/3);
2. cos(arccos4/5 — arccos3/5).

$\mathrm{1.\; sin}(\arccos \frac{1}{3}+\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})=$

$=\sin (\arccos \frac{1}{3})\cdot \cos (\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})+\sin (\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})\cdot \cos (\arccos \frac{1}{3})=$

$=\sqrt{1-{\cos }^2(\arccos \frac{1}{3})}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}+\sqrt{1-{\cos }^2(\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})}\cdot \frac{1}{3}=$

$=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}+\sqrt{1-{\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2}\cdot \frac{1}{3}=\sqrt{\frac{9}{9}-\frac{1}{9}}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}+\sqrt{\frac{9}{9}-\frac{8}{9}}\cdot \frac{1}{3}=$

$=\sqrt{\frac{8}{9}}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}+\sqrt{\frac{1}{9}}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2\cdot \sqrt{2\cdot 8}}{3\cdot 3}+\frac{1\cdot 1}{3\cdot 3}=\frac{2\cdot \sqrt{16}}{9}+\frac{1}{9}=\frac{2\cdot 4+1}{9}=$

$=\frac{8+1}{9}=\frac{9}{9}=1;$

Ответ: $1$.

$\mathrm{2.\; cos}(\arccos \frac{4}{5}-\arccos \frac{3}{5})=$

$=\cos (\arccos \frac{4}{5})\cdot \cos (\arccos \frac{3}{5})+\sin (\arccos \frac{4}{5})\cdot \sin (\arccos \frac{3}{5})=$

$=\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}+\sqrt{1-{\cos }^2(\arccos \frac{4}{5})}\cdot \sqrt{1-{\cos }^2(\arccos \frac{3}{5})}=$

$=\frac{12}{25}+\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{12}{25}+\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{16}{25}}\cdot \sqrt{\frac{25}{25}-\frac{9}{25}}=$

$=\frac{12}{25}+\sqrt{\frac{9}{25}}\cdot \sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{12}{25}+\frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{12}{25}+\frac{12}{25}=\frac{24}{25};$

Ответ: $\frac{24}{25}$.

Задача 1:

$$\sin (\arccos \frac{1}{3}+\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})$$

Шаг 1: Применяем формулу для синуса суммы углов

Для начала применим стандартную тригонометрическую формулу для синуса суммы:

$$\sin (A+B)=\sin A\cdot \cos B+\cos A\cdot \sin B$$

В данном случае $A=\arccos \frac{1}{3}$, а $B=\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Тогда выражение примет вид:

$$\sin (\arccos \frac{1}{3}+\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})=\sin (\arccos \frac{1}{3})\cdot \cos (\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})+$$

$$+\cos (\arccos \frac{1}{3})\cdot \sin (\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})$$

Шаг 2: Преобразуем синусы и косинусы

Для каждого из членов будем использовать факт, что если $\theta =\arccos x$, то:

$$\sin \theta =\sqrt{1-x^2},\cos \theta =x\mathrm{.}$$

Таким образом:

1. $\arccos \frac{1}{3}\Rightarrow \cos (\arccos \frac{1}{3})=\frac{1}{3}$, и $\sin (\arccos \frac{1}{3})=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
2. $\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3}\Rightarrow \cos (\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, и $\sin (\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})=\sqrt{1-{\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$.

Шаг 3: Подставляем полученные значения в исходное выражение

Теперь подставим эти значения в формулу для $\sin (A+B)$:

$$\sin (\arccos \frac{1}{3}+\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}$$

Упростим каждое из слагаемых:

$$\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{8}{9},\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$\sin (\arccos \frac{1}{3}+\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})=\frac{8}{9}+\frac{1}{9}=\frac{9}{9}=1.$$

Ответ:

$$1.$$

Задача 2:

$$\cos (\arccos \frac{4}{5}-\arccos \frac{3}{5})$$

Шаг 1: Применяем формулу для косинуса разности углов

Для решения используем стандартную формулу для косинуса разности:

$$\cos (A-B)=\cos A\cdot \cos B+\sin A\cdot \sin B\mathrm{.}$$

В данном случае $A=\arccos \frac{4}{5}$, а $B=\arccos \frac{3}{5}$. Подставляем в формулу:

$$\cos (\arccos \frac{4}{5}-\arccos \frac{3}{5})=\cos (\arccos \frac{4}{5})\cdot \cos (\arccos \frac{3}{5})+$$

$$+\sin (\arccos \frac{4}{5})\cdot \sin (\arccos \frac{3}{5})$$

Шаг 2: Преобразуем синусы и косинусы

По аналогии с предыдущим примером:

1. $\arccos \frac{4}{5}\Rightarrow \cos (\arccos \frac{4}{5})=\frac{4}{5}$, и $\sin (\arccos \frac{4}{5})=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$.
2. $\arccos \frac{3}{5}\Rightarrow \cos (\arccos \frac{3}{5})=\frac{3}{5}$, и $\sin (\arccos \frac{3}{5})=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$.

Шаг 3: Подставляем значения в исходное выражение

Подставляем полученные значения в формулу для $\cos (A-B)$:

$$\cos (\arccos \frac{4}{5}-\arccos \frac{3}{5})=\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}+\frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}\mathrm{.}$$

Упростим каждое из слагаемых:

$$\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{12}{25},\frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{12}{25}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$\cos (\arccos \frac{4}{5}-\arccos \frac{3}{5})=\frac{12}{25}+\frac{12}{25}=\frac{24}{25}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{24}{25}\mathrm{.}$$

Итоговые ответы:

1. $\sin (\arccos \frac{1}{3}+\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})=1.$
2. $\cos (\arccos \frac{4}{5}-\arccos \frac{3}{5})=\frac{24}{25}\mathrm{.}$