ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 343 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (343—345)

1. log5(x2) = 0;
2. log4(х2) = 3;
3. log3(x3) = 0;
4. log4(x3) = 6;
5. lg x4 + lg (4x) = 2 + lg x3;
6. lg x + lg x2 = lg (9x).

1. $${\log }_5{x}^2=0;$$

$$\log_5 x^2 = 0;$$ $${\log }_5{x}^2={\log }_{5}1;$$

$$\log_5 x^2 = \log_5 1;$$ $$x^2 = 1, \text{отсюда } x = \pm 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 > 0, \text{отсюда } x \neq 0;$$

Ответ: $x = \pm 1$.

2. $${\log }_4{x}^2=3;$$

$$\log_4 x^2 = 3;$$ $${\log }_4{x}^2={\log }_4{4}^3;$$

$$\log_4 x^2 = \log_4 4^3;$$ $$x^2=4^3;$$

$$x^2 = 4^3;$$ $$x^2 = 64, \text{отсюда } x = \pm 8;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 > 0, \text{отсюда } x \neq 0;$$

Ответ: $x = \pm 8$.

3. $${\log }_3{x}^3=0;$$

$$\log_3 x^3 = 0;$$ $${\log }_3{x}^3={\log }_{3}1;$$

$$\log_3 x^3 = \log_3 1;$$ $$x^3 = 1, \text{отсюда } x = 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^3 > 0, \text{отсюда } x > 0;$$

Ответ: $x = 1$.

4. $${\log }_4{x}^3=6;$$

$$\log_4 x^3 = 6;$$ $${\log }_4{x}^3={\log }_4{4}^6;$$

$$\log_4 x^3 = \log_4 4^6;$$ $$x^3=4^6;$$

$$x^3 = 4^6;$$ $$x^3=(4^2{)}^3;$$

$$x^3 = (4^2)^3;$$ $$x^3 = 16^3, \text{отсюда } x = 16;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^3 > 0, \text{отсюда } x > 0;$$

Ответ: $x = 16$.

5. $$\lg x^4+\lg (4x)=2+\lg x^3;$$

$$\lg x^4 + \lg (4x) = 2 + \lg x^3;$$ $$\lg x^4+\lg (4x)-\lg x^3=2;$$

$$\lg x^4 + \lg (4x) — \lg x^3 = 2;$$ $$\lg \frac{x^4\cdot 4x}{x^3}=\lg {10}^2;$$

$$\lg \frac{x^4 \cdot 4x}{x^3} = \lg 10^2;$$ $$\lg 4x^2=\lg 100;$$

$$\lg 4x^2 = \lg 100;$$ $$4x^2=100;$$

$$4x^2 = 100;$$ $$x^2 = 25, \text{отсюда } x = \pm 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^4>0,\text{отсюда }x\mathrm{\ne }0;$$

$$x^4 > 0, \text{отсюда } x \neq 0;$$ $$4x>0,\text{отсюда }x>0;$$

$$4x > 0, \text{отсюда } x > 0;$$ $$x^3 > 0, \text{отсюда } x > 0;$$

Ответ: $x = 5$.

6. $$\lg x+\lg x^2=\lg (9x);$$

$$\lg x + \lg x^2 = \lg (9x);$$ $$\lg x+\lg x^2-\lg (9x)=0;$$

$$\lg x + \lg x^2 — \lg (9x) = 0;$$ $$\lg \frac{x\cdot x^2}{9x}=0;$$

$$\lg \frac{x \cdot x^2}{9x} = 0;$$ $$\lg \frac{x^2}{9}=0;$$

$$\lg \frac{x^2}{9} = 0;$$ $$\lg x^2-\lg 9=0;$$

$$\lg x^2 — \lg 9 = 0;$$ $$\lg x^2=\lg 9;$$

$$\lg x^2 = \lg 9;$$ $$x^2 = 9, \text{отсюда } x = \pm 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x>0;$$

$$x > 0;$$ $$x^2>0,\text{отсюда }x\mathrm{\ne }0;$$

$$x^2 > 0, \text{отсюда } x \neq 0;$$ $$9x > 0, \text{отсюда } x > 0;$$

Ответ: $x = 3$.

$$\boxed{ \begin{aligned} &1) \, x = \pm 1; \\ &2) \, x = \pm 8; \\ &3) \, x = 1; \\ &4) \, x = 16; \\ &5) \, x = 5; \\ &6) \, x = 3. \end{aligned} }$$

1)

$$\log_5 x^2 = 0$$

Шаг 1: Используем определение логарифма

$$\log_5 x^2 = 0 \iff x^2 = 5^0 = 1$$

Шаг 2: Решаем уравнение

$$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

Шаг 3: Область допустимых значений (ОДЗ)

Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$x^2 > 0 \Rightarrow x \ne 0$$

Значения $x = \pm 1$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\boxed{x = \pm 1}$

2)

$$\log_4 x^2 = 3$$

Шаг 1: Используем определение логарифма

$$\log_4 x^2 = 3 \iff x^2 = 4^3 = 64$$

Шаг 2: Решаем уравнение

$$x^2 = 64 \Rightarrow x = \pm 8$$

Шаг 3: ОДЗ

$$x^2 > 0 \Rightarrow x \ne 0$$

Значения $x = \pm 8$ подходят.

Ответ: $\boxed{x = \pm 8}$

3)

$$\log_3 x^3 = 0$$

Шаг 1: Используем определение логарифма

$$\log_3 x^3 = 0 \iff x^3 = 3^0 = 1$$

Шаг 2: Решаем уравнение

$$x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$$

Шаг 3: ОДЗ

$$x^3 > 0 \Rightarrow x > 0$$

$x = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\boxed{x = 1}$

4)

$$\log_4 x^3 = 6$$

Шаг 1: Используем определение логарифма

$$\log_4 x^3 = 6 \iff x^3 = 4^6$$

Шаг 2: Упростим правую часть

$$4^6 = (2^2)^6 = 2^{12}$$

Можно также так:

$$x^3 = 4^6 = (4^2)^3 = 16^3 \Rightarrow x = 16$$

Шаг 3: ОДЗ

$$x^3 > 0 \Rightarrow x > 0$$

$x = 16$ подходит.

Ответ: $\boxed{x = 16}$

5)

$$\lg x^4 + \lg(4x) = 2 + \lg x^3$$

Шаг 1: Переносим всё в одну часть

$$\lg x^4 + \lg(4x) — \lg x^3 = 2$$

Шаг 2: Применяем свойства логарифмов

Сумма логарифмов:

$$\lg x^4 + \lg(4x) = \lg(x^4 \cdot 4x) = \lg(4x^5)$$

Вычитание логарифмов:

$$\lg(4x^5) — \lg x^3 = \lg\left(\frac{4x^5}{x^3}\right) = \lg(4x^2)$$

Итак:

$$\lg(4x^2) = 2 \Rightarrow 4x^2 = 10^2 = 100 \Rightarrow x^2 = \frac{100}{4} = 25 \Rightarrow x = \pm 5$$

Шаг 3: ОДЗ

• $\lg x^4 \Rightarrow x^4 > 0 \Rightarrow x \ne 0$
• $\lg(4x) \Rightarrow 4x > 0 \Rightarrow x > 0$
• $\lg x^3 \Rightarrow x^3 > 0 \Rightarrow x > 0$

Из всех трёх условий: $x > 0$

Только $x = 5$ удовлетворяет.

Ответ: $\boxed{x = 5}$

6)

$$\lg x + \lg x^2 = \lg(9x)$$

Шаг 1: Переносим всё в одну часть

$$\lg x + \lg x^2 — \lg(9x) = 0$$

Шаг 2: Объединяем логарифмы

$$\lg x + \lg x^2 = \lg(x \cdot x^2) = \lg(x^3)$$ $$\lg(x^3) — \lg(9x) = \lg\left(\frac{x^3}{9x}\right) = \lg\left(\frac{x^2}{9}\right)$$

Тогда:

$$\lg\left(\frac{x^2}{9}\right) = 0 \Rightarrow \frac{x^2}{9} = 10^0 = 1 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$$

Шаг 3: ОДЗ

• $\lg x \Rightarrow x > 0$
• $\lg x^2 \Rightarrow x \ne 0$
• $\lg(9x) \Rightarrow 9x > 0 \Rightarrow x > 0$

Итак, $x > 0$, значит только $x = 3$

Ответ: $\boxed{x = 3}$

Итоговый ответ:

$$\boxed{ \begin{aligned} &1) \quad x = \pm 1 \\ &2) \quad x = \pm 8 \\ &3) \quad x = 1 \\ &4) \quad x = 16 \\ &5) \quad x = 5 \\ &6) \quad x = 3 \end{aligned} }$$