ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 576 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. cos2 2х = 1 + sin2 2х;
2. 4 cos2 х = 3;
3. 2 cos2 х = 1 + 2 sin2 х;
4. 2 корень 2 cos2 х = 1 + корень 2;
5. (1 + cos х) (3 — 2 cos х) = 0;
6. (1 — cos х) (4 + 3 cos 2х) = 0;
7. (1 + 2 cos х) (1 — 3 cos х) = 0;
8. (1-2 cos х) (2 + 3 cos х) = 0.

1. $\cos^2 2x = 1 + \sin^2 2x$;
   $\cos^2 2x — \sin^2 2x = 1$;
   $\cos 4x = 1$;
   $4x = \arccos 1 + 2\pi n = 0 + 2\pi n = 2\pi n$;
   $x = \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi n}{2}$;
   Ответ: $\frac{\pi n}{2}$.
2. $4 \cos^2 x = 3$;
   $\cos^2 x = \frac{3}{4}$;
   $\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$;
   $x_1 = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$;
   $x_2 = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$;
   Ответ: $\pm \frac{\pi}{6} + \pi n$.
3. $2 \cos^2 x = 1 + 2 \sin^2 x$;
   $2 \cos^2 x — 2 \sin^2 x = 1$;
   $2 (\cos^2 x — \sin^2 x) = 1$;
   $\cos 2x = \frac{1}{2}$;
   $2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
   $x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$;
   Ответ: $\pm \frac{\pi}{6} + \pi n$.
4. $2\sqrt{2} \cos^2 x = 1 + \sqrt{2}$;
   $2\sqrt{2} \cos^2 x — \sqrt{2} = 1$;
   $\sqrt{2} (2 \cos^2 x — 1) = 1$;
   $1 + \cos 2x — 1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$;
   $\cos 2x = \frac{1}{\sqrt{2}}$;
   $2x = \pm \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;
   $x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{8} + \pi n$;
   Ответ: $\pm \frac{\pi}{8} + \pi n$.
5. $(1 + \cos x)(3 — 2 \cos x) = 0$;
   Первое уравнение:
   $1 + \cos x = 0$;
   $\cos x = -1$;
   $x = (\pi — \arccos 1) + 2\pi n = \pi + 2\pi n$;
   Второе уравнение:
   $3 — 2 \cos x = 0$;
   $2 \cos x = 3$;
   $\cos x = 1.5$ — корней нет.
   Ответ: $\pi + 2\pi n$.
6. $(1 — \cos x)(4 + 3 \cos x) = 0$;
   Первое уравнение:
   $1 — \cos x = 0$;
   $\cos x = 1$;
   $x = \arccos 1 + 2\pi n = 0 + 2\pi n = 2\pi n$;
   Второе уравнение:
   $4 + 3 \cos x = 0$;
   $3 \cos x = -4$;
   $\cos x = -\frac{4}{3}$ — корней нет.
   Ответ: $2\pi n$.
7. $(1 + 2 \cos x)(1 — 3 \cos x) = 0$;
   Первое уравнение:
   $1 + 2 \cos x = 0$;
   $2 \cos x = -1$;
   $\cos x = -\frac{1}{2}$;
   $x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;
   Второе уравнение:
   $1 — 3 \cos x = 0$;
   $3 \cos x = 1$;
   $\cos x = \frac{1}{3}$;
   $x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$;
   Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$; $\pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$.
8. $(1 — 2 \cos x)(2 + 3 \cos x) = 0$;
   Первое уравнение:
   $1 — 2 \cos x = 0$;
   $2 \cos x = 1$;
   $\cos x = \frac{1}{2}$;
   $x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
   Второе уравнение:
   $2 + 3 \cos x = 0$;
   $3 \cos x = -2$;
   $\cos x = -\frac{2}{3}$;
   $x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{2}{3} \right) + 2\pi n$;
   Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$; $\pm \left( \pi — \arccos \frac{2}{3} \right) + 2\pi n$.

1) Уравнение:

$$\cos^2 2x = 1 + \sin^2 2x$$

Шаг 1: Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$\cos^2 2x — \sin^2 2x = 1$$

Шаг 2: Используем формулу разности квадратов синуса и косинуса:

$$\cos^2 \theta — \sin^2 \theta = \cos 2\theta$$

Здесь $\theta = 2x$, значит:

$$\cos^2 2x — \sin^2 2x = \cos (2 \cdot 2x) = \cos 4x$$

Шаг 3: Подставляем в уравнение:

$$\cos 4x = 1$$

Шаг 4: Решаем уравнение $\cos \alpha = 1$. Косинус равен 1 при:

$$\alpha = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Здесь $\alpha = 4x$, следовательно:

$$4x = 2\pi n$$

Шаг 5: Найдём $x$:

$$x = \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

2) Уравнение:

$$4 \cos^2 x = 3$$

Шаг 1: Выразим $\cos^2 x$:

$$\cos^2 x = \frac{3}{4}$$

Шаг 2: Извлечём корень (учитывая оба знака):

$$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Найдём углы, при которых косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• Известно, что $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Значит, решения для $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — это:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

• Для $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ используем формулу:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 4: Объединяем решения:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Поскольку $2\pi n$ — период, можно переписать решение компактно:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

3) Уравнение:

$$2 \cos^2 x = 1 + 2 \sin^2 x$$

Шаг 1: Переносим все в одну сторону:

$$2 \cos^2 x — 2 \sin^2 x = 1$$

Шаг 2: Выносим общий множитель:

$$2 (\cos^2 x — \sin^2 x) = 1$$

Шаг 3: Используем формулу:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Следовательно:

$$2 \cos 2x = 1 \implies \cos 2x = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Решаем уравнение $\cos 2x = \frac{1}{2}$.

Известно, что $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Общее решение:

$$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 5: Выражаем $x$:

$$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

4) Уравнение:

$$2\sqrt{2} \cos^2 x = 1 + \sqrt{2}$$

Шаг 1: Переносим слагаемые:

$$2\sqrt{2} \cos^2 x — \sqrt{2} = 1$$

Шаг 2: Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки:

$$\sqrt{2} (2 \cos^2 x — 1) = 1$$

Шаг 3: Используем формулу:

$$2 \cos^2 x — 1 = \cos 2x$$

Получаем:

$$\sqrt{2} \cos 2x = 1 \implies \cos 2x = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Шаг 4: Решаем уравнение $\cos 2x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Известно:

$$\arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$$

Общее решение:

$$2x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 5: Найдём $x$:

$$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{8} + \pi n$$

Ответ:

$$x = \pm \frac{\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

5) Уравнение:

$$(1 + \cos x)(3 — 2 \cos x) = 0$$

Шаг 1: Решаем систему уравнений:

$$1 + \cos x = 0 \quad \text{или} \quad 3 — 2 \cos x = 0$$

Первое уравнение:

$$1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1$$

Решение:

$$x = \pi + 2\pi n$$

Второе уравнение:

$$3 — 2 \cos x = 0 \implies 2 \cos x = 3 \implies \cos x = \frac{3}{2}$$

Но $\cos x$ не может быть больше 1, значит решений нет.

Ответ:

$$x = \pi + 2\pi n$$

6) Уравнение:

$$(1 — \cos x)(4 + 3 \cos x) = 0$$

Шаг 1: Решаем:

$$1 — \cos x = 0 \quad \text{или} \quad 4 + 3 \cos x = 0$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 1$$

Решение:

$$x = 2\pi n$$

Второе уравнение:

$$4 + 3 \cos x = 0 \implies 3 \cos x = -4 \implies \cos x = -\frac{4}{3}$$

$\cos x$ не может быть меньше $-1$, решений нет.

Ответ:

$$x = 2\pi n$$

7) Уравнение:

$$(1 + 2 \cos x)(1 — 3 \cos x) = 0$$

Шаг 1: Решаем:

$$1 + 2 \cos x = 0 \quad \text{или} \quad 1 — 3 \cos x = 0$$

Первое уравнение:

$$2 \cos x = -1 \implies \cos x = -\frac{1}{2}$$

Решение:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Второе уравнение:

$$1 — 3 \cos x = 0 \implies 3 \cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{3}$$

Решение:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

Ответ:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \quad x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

8) Уравнение:

$$(1 — 2 \cos x)(2 + 3 \cos x) = 0$$

Шаг 1: Решаем:

$$1 — 2 \cos x = 0 \quad \text{или} \quad 2 + 3 \cos x = 0$$

Первое уравнение:

$$2 \cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{2}$$

Решение:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Второе уравнение:

$$2 + 3 \cos x = 0 \implies 3 \cos x = -2 \implies \cos x = -\frac{2}{3}$$

Решение:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{2}{3} \right) + 2\pi n$$

Ответ:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \quad x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{2}{3} \right) + 2\pi n$$