ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 893 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, при каких значениях р касательная, проведённая к графику функции у = x3 — рх в его точке с абсциссой х0= 1, проходит через точку М (2; 3).

893.

Касательная к графику функции $f(x) = x^3 — px$ в точке, абсцисса которой равна $x_0 = 1$, проходит через точку $M(2; 3)$

Уравнение касательной:

$$f'(x) = (x^3)’ — p \cdot (x)’ = 3x^2 — p;$$ $$f'(1) = 3 \cdot 1^2 — p = 3 — p;$$ $$f(1) = 1^3 — p \cdot 1 = 1 — p;$$ $$y = 1 — p + (3 — p)(x — 1) = 1 — p + 3x — 3 — px + p = 3x — px — 2;$$

Касательная проходит через точку $M$ при:

$$3 = 3 \cdot 2 — p \cdot 2 — 2;$$ $$6 — 2p = 5;$$ $$1 = 2p, \text{ отсюда } p = \frac{1}{2};$$

Ответ:

$$\boxed{0.5}$$

Мы имеем функцию $f(x) = x^3 — px$, и касательная к графику этой функции в точке с абсциссой $x_0 = 1$ проходит через точку $M(2, 3)$. Необходимо найти значение параметра $p$, при котором это условие выполняется.

Шаг 1: Находим производную функции $f(x) = x^3 — px$

Для нахождения уравнения касательной к графику функции в точке $x_0 = 1$, нам нужно найти производную этой функции, так как производная в данной точке даст угловой коэффициент касательной.

Для функции $f(x) = x^3 — px$ производная будет вычисляться следующим образом:

• Производная от $x^3$ по правилу дифференцирования степенных функций: $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$
• Производная от $-px$ по правилу дифференцирования произведения константы на переменную: $\frac{d}{dx}(-px) = -p$

Итак, производная функции $f(x)$:

$$f'(x) = 3x^2 — p$$

Шаг 2: Находим производную в точке $x_0 = 1$

Теперь, чтобы найти угловой коэффициент касательной, подставляем $x_0 = 1$ в полученную производную:

$$f'(1) = 3 \cdot 1^2 — p = 3 — p$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 1$ равен $3 — p$.

Шаг 3: Находим значение функции в точке $x_0 = 1$

Затем, нам нужно найти значение функции $f(x)$ в точке $x_0 = 1$. Для этого подставляем $x_0 = 1$ в исходную функцию $f(x) = x^3 — px$:

$$f(1) = 1^3 — p \cdot 1 = 1 — p$$

Таким образом, значение функции в точке $x_0 = 1$ равно $1 — p$.

Шаг 4: Уравнение касательной

Теперь, зная значение функции в точке и угловой коэффициент, мы можем найти уравнение касательной. Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$ имеет вид:

$$y — f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x — x_0)$$

Где:

• $f(x_0) = 1 — p$
• $f'(x_0) = 3 — p$
• $x_0 = 1$

Подставляем эти значения в формулу:

$$y — (1 — p) = (3 — p) \cdot (x — 1)$$

Раскрываем скобки:

$$y — 1 + p = (3 — p)(x — 1)$$

Теперь упростим правую часть:

$$y = 1 — p + (3 — p)(x — 1)$$

Раскрываем скобки на правой части уравнения:

$$y = 1 — p + 3x — 3 — px + p$$

Упрощаем выражение:

$$y = 3x — px — 2$$

Таким образом, уравнение касательной:

$$y = 3x — px — 2$$

Шаг 5: Проверка условия касания с точкой $M(2, 3)$

Теперь, чтобы найти значение $p$, воспользуемся условием, что касательная проходит через точку $M(2, 3)$. Подставим координаты точки $M(2, 3)$ в уравнение касательной:

$$3 = 3 \cdot 2 — p \cdot 2 — 2$$

Преобразуем это уравнение:

$$3 = 6 — 2p — 2$$ $$3 = 4 — 2p$$ $$2p = 1$$ $$p = \frac{1}{2}$$

Таким образом, значение параметра $p$ равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $p = \boxed{0.5}$.