ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1314 Алимов — Подробные Ответы

1. sin(a+пи/3) — sin(a-пи/3) = (корень 3) cosa;
2. cos(пи/6+a) + cos(пи/6-a) = (корень 3) cosa.

$\mathrm{1)\; sin}(a+\frac{\pi }{3})-\sin (a-\frac{\pi }{3})=\sqrt{3}\cos a$;

Преобразуем левую часть тождества:

$$\sin (a+\frac{\pi }{3})-\sin (a-\frac{\pi }{3})=2\cdot \sin \frac{a+\frac{\pi }{3}-a+\frac{\pi }{3}}{2}\cdot \cos \frac{a+\frac{\pi }{3}+a-\frac{\pi }{3}}{2}=$$$$=2\cdot \sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos a=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos a=\sqrt{3}\cos a;$$

Тождество доказано.

$\mathrm{2)\; cos}(\frac{\pi }{6}+a)+\cos (\frac{\pi }{6}-a)=\sqrt{3}\cos a$;

Преобразуем левую часть тождества:

$$\cos (\frac{\pi }{6}+a)+\cos (\frac{\pi }{6}-a)=2\cdot \cos \frac{\frac{\pi }{6}+a+\frac{\pi }{6}-a}{2}\cdot \cos \frac{\frac{\pi }{6}+a-\frac{\pi }{6}+a}{2}=$$$$=2\cdot \cos \frac{\pi }{6}\cdot \cos a=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos a=\sqrt{3}\cos a;$$

Тождество доказано.

1) Тождество: $\sin (a+\frac{\pi }{3})-\sin (a-\frac{\pi }{3})=\sqrt{3}\cos a$

Шаг 1: Применение формулы разности синусов

Для начала используем стандартную формулу разности синусов:

$$\sin (x)-\sin (y)=2\cdot \cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$$

Подставим $x=a+\frac{\pi }{3}$ и $y=a-\frac{\pi }{3}$. Тогда:

$$\sin (a+\frac{\pi }{3})-\sin (a-\frac{\pi }{3})=$$

$$=2\cdot \cos \left(\frac{(a+\frac{\pi }{3})+(a-\frac{\pi }{3})}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{(a+\frac{\pi }{3})-(a-\frac{\pi }{3})}{2}\right)$$

Шаг 2: Упрощение выражений

Теперь упростим аргументы косинуса и синуса в правой части.

Для косинуса:

$$\frac{(a+\frac{\pi }{3})+(a-\frac{\pi }{3})}{2}=\frac{a+\frac{\pi }{3}+a-\frac{\pi }{3}}{2}=\frac{2a}{2}=a$$

Для синуса:

$$\frac{(a+\frac{\pi }{3})-(a-\frac{\pi }{3})}{2}=\frac{a+\frac{\pi }{3}-a+\frac{\pi }{3}}{2}=\frac{2\cdot \frac{\pi }{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$$

Теперь подставим эти упрощения в исходное выражение:

$$\sin (a+\frac{\pi }{3})-\sin (a-\frac{\pi }{3})=2\cdot \cos a\cdot \sin \frac{\pi }{3}$$

Шаг 3: Подставим значение $\sin \frac{\pi }{3}$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что:

$$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставляем это значение:

$$2\cdot \cos a\cdot \sin \frac{\pi }{3}=2\cdot \cos a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 4: Упростим выражение

Упростим полученное выражение:

$$2\cdot \cos a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\cdot \cos a$$

Таким образом, мы получили:

$$\sin (a+\frac{\pi }{3})-\sin (a-\frac{\pi }{3})=\sqrt{3}\cdot \cos a$$

Тождество доказано.

2) Тождество: $\cos (\frac{\pi }{6}+a)+\cos (\frac{\pi }{6}-a)=\sqrt{3}\cos a$

Шаг 1: Применение формулы суммы косинусов

Для начала используем стандартную формулу суммы косинусов:

$$\cos (x)+\cos (y)=2\cdot \cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$$

Подставим $x=\frac{\pi }{6}+a$ и $y=\frac{\pi }{6}-a$. Тогда:

$$\cos (\frac{\pi }{6}+a)+\cos (\frac{\pi }{6}-a)=$$

$$=2\cdot \cos \left(\frac{(\frac{\pi }{6}+a)+(\frac{\pi }{6}-a)}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{(\frac{\pi }{6}+a)-(\frac{\pi }{6}-a)}{2}\right)$$

Шаг 2: Упрощение выражений

Теперь упростим аргументы косинусов в правой части.

Для первого косинуса:

$$\frac{(\frac{\pi }{6}+a)+(\frac{\pi }{6}-a)}{2}=\frac{\frac{\pi }{6}+a+\frac{\pi }{6}-a}{2}=\frac{\frac{\pi }{3}}{2}=\frac{\pi }{6}$$

Для второго косинуса:

$$\frac{(\frac{\pi }{6}+a)-(\frac{\pi }{6}-a)}{2}=\frac{\frac{\pi }{6}+a-\frac{\pi }{6}+a}{2}=\frac{2a}{2}=a$$

Теперь подставим эти упрощения в исходное выражение:

$$\cos (\frac{\pi }{6}+a)+\cos (\frac{\pi }{6}-a)=2\cdot \cos \frac{\pi }{6}\cdot \cos a$$

Шаг 3: Подставим значение $\cos \frac{\pi }{6}$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что:

$$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставляем это значение:

$$2\cdot \cos \frac{\pi }{6}\cdot \cos a=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos a$$

Шаг 4: Упростим выражение

Упростим полученное выражение:

$$2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos a=\sqrt{3}\cdot \cos a$$

Таким образом, мы получили:

$$\cos (\frac{\pi }{6}+a)+\cos (\frac{\pi }{6}-a)=\sqrt{3}\cdot \cos a$$

Тождество доказано.