ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1429 Алимов — Подробные Ответы

1) система

корень (x+y-1) =1,

корень (x-y+2) =2y-2;

2) система

корень (3y+x+1)=2,

корень (2x-y+2) =7y-6.

1)

$$\begin{cases} \sqrt{x + y — 1} = 1 \\ \sqrt{x — y + 2} = 2y — 2 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x + y — 1 = 1 \\ x — y + 2 = 4y^2 — 8y + 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2 — y \\ 4y^2 — 7y — (2 — y) + 2 = 0 \end{cases}$$ $$4y^2 — 6y = 0;$$ $$2y \cdot (2y — 3) = 0;$$ $$y_1 = 0 \quad \text{и} \quad y_2 = 1,5;$$ $$x_1 = 2 — 0 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = 2 — 1,5 = 0,5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\begin{cases} x + y — 1 \geq 0 \\ x — y + 2 \geq 0 \end{cases}$$ $$x — x + y — 1 — 2 \geq 0 — 0;$$ $$2y — 3 \geq 0;$$ $$y \geq \frac{3}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\begin{cases} x + y — 1 \geq 0 \\ x — y + 2 \geq 0 \end{cases}$$ $$x + x + y — y — 1 — 2 \geq 0 + 0;$$ $$2x — 1 \geq 0;$$ $$x \geq \frac{1}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\begin{cases} 2y — 2 \geq 0 \\ y — 1 \geq 0 \end{cases}$$ $$y \geq 1;$$

Ответ: $(0,5; 1,5)$.

2)

$$\begin{cases} \sqrt{3y + x + 1} = 2 \\ \sqrt{2x — y + 2} = 7y — 6 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 3y + x + 1 = 4 \\ 2x — y + 2 = 49y^2 — 84y + 36 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 3 — 3y \\ 49y^2 — 83y — 2(3 — 3y) + 34 = 0 \end{cases}$$ $$49y^2 — 83y — 6 + 6y + 34 = 0;$$ $$49y^2 — 77y + 28 = 0;$$ $$D = 77^2 — 4 \cdot 49 \cdot 28 = 5929 — 5488 = 441, \quad \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{77 — 21}{2 \cdot 49} = \frac{56}{98} = \frac{4}{7} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{77 + 21}{2 \cdot 49} = \frac{98}{98} = 1;$$ $$x_1 = 3 — 3 \cdot \frac{4}{7} = \frac{21}{7} — \frac{12}{7} = \frac{9}{7} \quad \text{и} \quad x_2 = 3 — 3 \cdot 1 = 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\begin{cases} 3y + x + 1 \geq 0 \\ 2x — y + 2 \geq 0 \end{cases}$$ $$2x — 2x + 6y + y + 2 — 2 \geq 0 + 0;$$ $$7y \geq 0;$$ $$y \geq 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\begin{cases} 3y + x + 1 \geq 0 \\ 2x — y + 2 \geq 0 \end{cases}$$ $$3y — 3y + x + 6x + 1 + 6 \geq 0 + 0;$$ $$7x + 7 \geq 0;$$ $$x + 1 \geq 0;$$ $$x \geq -1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\begin{cases} 2y — 2 \geq 0 \\ y — 1 \geq 0 \end{cases}$$ $$7y — 6 \geq 0;$$ $$7y \geq 6;$$ $$y \geq \frac{6}{7};$$

Ответ: $(0; 1)$.

1) Система уравнений:

$$\begin{cases} \sqrt{x + y — 1} = 1 \\ \sqrt{x — y + 2} = 2y — 2 \end{cases}$$

Шаг 1. Начнем с первого уравнения:

$$\sqrt{x + y — 1} = 1$$

Возведем обе стороны в квадрат:

$$x + y — 1 = 1^2 = 1$$

Теперь преобразуем это уравнение:

$$x + y = 2 \tag{1}$$

Шаг 2. Рассмотрим второе уравнение:

$$\sqrt{x — y + 2} = 2y — 2$$

Возведем обе стороны в квадрат:

$$x — y + 2 = (2y — 2)^2$$

Рассмотрим правую часть:

$$(2y — 2)^2 = 4y^2 — 8y + 4$$

Теперь у нас есть:

$$x — y + 2 = 4y^2 — 8y + 4$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$x — y + 2 — 4y^2 + 8y — 4 = 0$$

Упростим уравнение:

$$x — 4y^2 + 7y — 2 = 0 \tag{2}$$

Шаг 3. Подставим выражение $x = 2 — y$, которое мы получили из уравнения (1), в уравнение (2):

$$(2 — y) — 4y^2 + 7y — 2 = 0$$

Упростим это уравнение:

$$2 — y — 4y^2 + 7y — 2 = 0$$ $$-4y^2 + 6y = 0$$

Шаг 4. Вынесем общий множитель:

$$-2y(2y — 3) = 0$$

Это уравнение имеет два решения:

$$y_1 = 0 \quad \text{или} \quad y_2 = \frac{3}{2}$$

Шаг 5. Подставим значения $y_1 = 0$ и $y_2 = \frac{3}{2}$ в выражение $x = 2 — y$, чтобы найти соответствующие значения $x$.

Для $y_1 = 0$:

$$x_1 = 2 — 0 = 2$$

Для $y_2 = \frac{3}{2}$:

$$x_2 = 2 — \frac{3}{2} = \frac{4}{2} — \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$$

Шаг 6. Теперь проверим, при каких значениях $x$ и $y$ выражение имеет смысл. Для этого посмотрим на условия, при которых корни в исходных уравнениях определены:

$\sqrt{x + y — 1} \geq 0$, что означает:

$$x + y — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x + y \geq 1$$

Подставим значения $x_1 = 2$ и $y_1 = 0$:

$$2 + 0 = 2 \geq 1 \quad (\text{условие выполняется})$$

Подставим значения $x_2 = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{3}{2}$:

$$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2 \geq 1 \quad (\text{условие выполняется})$$

$\sqrt{x — y + 2} \geq 0$, что означает:

$$x — y + 2 \geq 0$$

Подставим значения $x_1 = 2$ и $y_1 = 0$:

$$2 — 0 + 2 = 4 \geq 0 \quad (\text{условие выполняется})$$

Подставим значения $x_2 = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{3}{2}$:

$$\frac{1}{2} — \frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2} \geq 0 \quad (\text{условие выполняется})$$

Условие, что $2y — 2 \geq 0$, что означает:

$$y \geq 1$$

Подставим $y_1 = 0$:

$$0 \geq 1 \quad (\text{не выполняется})$$

Подставим $y_2 = \frac{3}{2}$:

$$\frac{3}{2} \geq 1 \quad (\text{условие выполняется})$$

Шаг 7. Таким образом, единственным подходящим решением является $x = \frac{1}{2}$, $y = \frac{3}{2}$.

Ответ: $(0.5; 1.5)$

2) Система уравнений:

$$\begin{cases} \sqrt{3y + x + 1} = 2 \\ \sqrt{2x — y + 2} = 7y — 6 \end{cases}$$

Шаг 1. Возведем обе стороны первого уравнения в квадрат:

$$3y + x + 1 = 4$$

Приводим к более простому виду:

$$x = 3 — 3y \tag{3}$$

Шаг 2. Теперь возведем обе стороны второго уравнения в квадрат:

$$\sqrt{2x — y + 2} = 7y — 6$$

Квадрат обеих сторон:

$$2x — y + 2 = (7y — 6)^2$$

Раскроем правую часть:

$$(7y — 6)^2 = 49y^2 — 84y + 36$$

Теперь у нас есть:

$$2x — y + 2 = 49y^2 — 84y + 36$$

Шаг 3. Подставим $x = 3 — 3y$ из уравнения (3) в это уравнение:

$$2(3 — 3y) — y + 2 = 49y^2 — 84y + 36$$

Упростим:

$$6 — 6y — y + 2 = 49y^2 — 84y + 36$$ $$8 — 7y = 49y^2 — 84y + 36$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$49y^2 — 77y + 28 = 0$$

Шаг 4. Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$$D = (-77)^2 — 4 \cdot 49 \cdot 28 = 5929 — 5488 = 441$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{77 — 21}{2 \cdot 49} = \frac{56}{98} = \frac{4}{7}, \quad y_2 = \frac{77 + 21}{2 \cdot 49} = \frac{98}{98} = 1$$

Шаг 5. Теперь найдем соответствующие значения $x$. Подставим найденные значения $y$ в уравнение (3):

Для $y_1 = \frac{4}{7}$:

$$x_1 = 3 — 3 \cdot \frac{4}{7} = \frac{21}{7} — \frac{12}{7} = \frac{9}{7}$$

Для $y_2 = 1$:

$$x_2 = 3 — 3 \cdot 1 = 0$$

Шаг 6. Проверим, при каких значениях $x$ и $y$ выражение имеет смысл.

Для первого уравнения $\sqrt{3y + x + 1} \geq 0$, то:

$$3y + x + 1 \geq 0$$

Подставим $x_1 = \frac{9}{7}$ и $y_1 = \frac{4}{7}$:

$$3 \cdot \frac{4}{7} + \frac{9}{7} + 1 = \frac{12}{7} + \frac{9}{7} + \frac{7}{7} = \frac{28}{7} = 4 \geq 0 \quad (\text{условие выполняется})$$

Подставим $x_2 = 0$ и $y_2 = 1$:

$$3 \cdot 1 + 0 + 1 = 4 \geq 0 \quad (\text{условие выполняется})$$

Для второго уравнения $\sqrt{2x — y + 2} \geq 0$, то:

$$2x — y + 2 \geq 0$$

Подставим $x_1 = \frac{9}{7}$ и $y_1 = \frac{4}{7}$:

$$2 \cdot \frac{9}{7} — \frac{4}{7} + 2 = \frac{18}{7} — \frac{4}{7} + \frac{14}{7} = \frac{28}{7} = 4 \geq 0 \quad (\text{условие выполняется})$$

Подставим $x_2 = 0$ и $y_2 = 1$:

$$2 \cdot 0 — 1 + 2 = 1 \geq 0 \quad (\text{условие выполняется})$$

Ответ: $(0; 1)$