ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1076 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение выражения:

1. (A 9/15 — A 8/15)/A 7/15;
2. (A 10/18 — A 11/18)/A 9/18;
3. (A 4/9 * A 4/4)/ A 6/8;
4. (A 5/5 * A 3/10)/A 7/9.

1) $\frac{A_{15}^9 — A_{15}^8}{A_{15}^7} = \frac{\frac{15!}{(15-9)!} — \frac{15!}{(15-8)!}}{\frac{15!}{(15-7)!}} = \frac{\frac{15!}{6!} — \frac{15!}{7!}}{\frac{15!}{8!}} = \frac{8!}{6!} — \frac{8!}{7!} =$

$= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} — \frac{8 \cdot 7!}{7!} = 8 \cdot 7 — 8 = 8 \cdot 6 = 48;$

2) $\frac{A_{18}^{10} + A_{18}^{11}}{A_{18}^9} = \frac{\frac{18!}{(18-10)!} + \frac{18!}{(18-11)!}}{\frac{18!}{(18-9)!}} = \frac{\frac{18!}{8!} + \frac{18!}{7!}}{\frac{18!}{9!}} = \frac{9!}{8!} + \frac{9!}{7!} =$

$=\frac{9\cdot 8!}{8!}+\frac{9\cdot 8\cdot 7!}{7!}=9+9\cdot 8=9\cdot 9=81;$

3) $= \frac{9 \cdot 8!}{8!} + \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 9 + 9 \cdot 8 = 9 \cdot 9 = 81;$$\frac{A_9^4\cdot A_9^4}{A_8^6}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}=\frac{9\cdot 2}{5}=\frac{18}{5};$

4) $\frac{A_9^4 \cdot A_9^4}{A_8^6} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{9 \cdot 2}{5} = \frac{18}{5};$$\frac{A_5^5 \cdot A_{10}^3}{A_7^7} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 10}{7 \cdot 6} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21}$

1) $\frac{A_{15}^9 — A_{15}^8}{A_{15}^7}$

Задача состоит в том, чтобы вычислить выражение, которое включает перестановки с разными числами объектов.

Шаг 1: Раскроем каждое из значений перестановок в числовую форму.

Перестановка $A_{15}^9$ означает количество способов выбрать и упорядочить 9 объектов из 15. По формуле для перестановок:

$$A_{15}^9 = \frac{15!}{(15 — 9)!} = \frac{15!}{6!}$$

Перестановка $A_{15}^8$ — это количество способов выбрать и упорядочить 8 объектов из 15:

$$A_{15}^8 = \frac{15!}{(15 — 8)!} = \frac{15!}{7!}$$

Перестановка $A_{15}^7$ — это количество способов выбрать и упорядочить 7 объектов из 15:

$$A_{15}^7 = \frac{15!}{(15 — 7)!} = \frac{15!}{8!}$$

Шаг 2: Подставим эти выражения в исходное:

$$\frac{A_{15}^9 — A_{15}^8}{A_{15}^7} = \frac{\frac{15!}{6!} — \frac{15!}{7!}}{\frac{15!}{8!}}$$

Шаг 3: Упростим числители и знаменатели:

В числителе у нас выражения с факториалами $15!$, которые можно вынести за скобки:

$$\frac{A_{15}^9 — A_{15}^8}{A_{15}^7} = \frac{15! \left( \frac{1}{6!} — \frac{1}{7!} \right)}{15! / 8!}$$

Теперь $15!$ сокращается, и остается:

$$\frac{8!}{6!} — \frac{8!}{7!}$$

Шаг 4: Упростим каждую из дробей:

$$\frac{8!}{6!} = 8 \cdot 7, \quad \frac{8!}{7!} = 8$$

Теперь подставим это:

$$8 \cdot 7 — 8 = 56 — 8 = 48$$

Ответ: 48.

2) $\frac{A_{18}^{10} + A_{18}^{11}}{A_{18}^9}$

Здесь мы имеем сложение двух перестановок в числителе и одну в знаменателе.

Шаг 1: Раскроем перестановки в числовую форму:

$$A_{18}^{10} = \frac{18!}{(18 — 10)!} = \frac{18!}{8!}, \quad A_{18}^{11} = \frac{18!}{(18 — 11)!} = \frac{18!}{7!}, \quad A_{18}^9 = \frac{18!}{(18 — 9)!} = \frac{18!}{9!}$$

Шаг 2: Подставим эти выражения в исходное:

$$\frac{A_{18}^{10} + A_{18}^{11}}{A_{18}^9} = \frac{\frac{18!}{8!} + \frac{18!}{7!}}{\frac{18!}{9!}}$$

Шаг 3: Упростим выражение:

В числителе у нас выражения с факториалами $18!$, которые можно вынести за скобки:

$$\frac{A_{18}^{10} + A_{18}^{11}}{A_{18}^9} = \frac{18! \left( \frac{1}{8!} + \frac{1}{7!} \right)}{18! / 9!}$$

Теперь $18!$ сокращается, и остается:

$$\frac{9!}{8!} + \frac{9!}{7!}$$

Шаг 4: Упростим дроби:

$$\frac{9!}{8!} = 9, \quad \frac{9!}{7!} = 9 \cdot 8$$

Теперь подставим:

$$9 + 9 \cdot 8 = 9 + 72 = 81$$

Ответ: 81.

3) $\frac{A_9^4 \cdot A_9^4}{A_8^6}$

Здесь у нас произведение двух перестановок в числителе и одна в знаменателе.

Шаг 1: Раскроем перестановки в числовую форму:

$$A_9^4 = \frac{9!}{(9 — 4)!} = \frac{9!}{5!}, \quad A_8^6 = \frac{8!}{(8 — 6)!} = \frac{8!}{2!}$$

Шаг 2: Подставим эти выражения в исходное:

$$\frac{A_9^4 \cdot A_9^4}{A_8^6} = \frac{\frac{9!}{5!} \cdot \frac{9!}{5!}}{\frac{8!}{2!}}$$

Шаг 3: Упростим числитель и знаменатель:

Числитель можно упростить:

$$\frac{9! \cdot 9!}{5! \cdot 5!}$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{\frac{9! \cdot 9!}{5! \cdot 5!}}{\frac{8!}{2!}} = \frac{9! \cdot 9! \cdot 2!}{8! \cdot 5! \cdot 5!}$$

Шаг 4: Упростим факториалы:

Преобразуем дроби:

$$\frac{9!}{8!} = 9, \quad \frac{9!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6$$

После упрощений, получаем:

$$\frac{9 \cdot 2}{5} = \frac{18}{5}$$

Ответ: $\frac{18}{5}$.

4) $\frac{A_5^5 \cdot A_{10}^3}{A_7^7}$

Задача состоит в том, чтобы вычислить выражение, которое включает произведение двух перестановок в числителе и одну в знаменателе.

Шаг 1: Раскроем перестановки в числовую форму:

$$A_5^5 = \frac{5!}{(5 — 5)!} = 5!, \quad A_{10}^3 = \frac{10!}{(10 — 3)!} = \frac{10!}{7!}, \quad A_7^7 = \frac{7!}{(7 — 7)!} = 7!$$

Шаг 2: Подставим эти выражения в исходное:

$$\frac{A_5^5 \cdot A_{10}^3}{A_7^7} = \frac{5! \cdot \frac{10!}{7!}}{7!}$$

Шаг 3: Упростим выражение:

Упростим числитель и знаменатель:

$$\frac{5! \cdot 10!}{7! \cdot 7!}$$

Шаг 4: Упростим результат:

Далее упростим:

$$\frac{2 \cdot 10}{7 \cdot 6} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21}$$

Ответ: $\frac{10}{21}$.

Итоговые ответы:

1. $48$
2. $81$
3. $\frac{18}{5}$
4. $\frac{10}{21}$