ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1275 Алимов — Подробные Ответы

1. cos(6 arccos корень 2/2);
2. sin(5arccos0).

$\cos \left( 6 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \cos \left( 6 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{3\pi}{2} = \cos \left( \pi + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin \pi = 0$;

Ответ: $0$.

$\sin \left( 5 \arccos 0 \right) = \sin \left( 5 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( 2\pi + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$;

Ответ: $1$.

Задача 1:

$$\cos \left( 6 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

1.1 Определение $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$

Функция $\arccos x$ — это обратная функция для косинуса. То есть, $\arccos x = y$ означает, что $\cos y = x$ и $0 \leq y \leq \pi$.

Для $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$ ищем угол $y$, для которого $\cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Известно, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно:

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$$

1.2 Подставляем в исходное выражение

Теперь подставим найденное значение $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$ в выражение:

$$\cos \left( 6 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \cos \left( 6 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{3\pi}{2}$$

1.3 Преобразование угла $\frac{3\pi}{2}$

Мы знаем, что:

$$\frac{3\pi}{2} = \pi + \frac{\pi}{2}$$

Используем тригонометрическое тождество:

$$\cos \left( \pi + \theta \right) = -\cos \theta$$

Таким образом:

$$\cos \frac{3\pi}{2} = \cos \left( \pi + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin \pi$$

1.4 Значение $\sin \pi$

Известно, что:

$$\sin \pi = 0$$

Следовательно:

$$\cos \frac{3\pi}{2} = -0 = 0$$

Ответ:

$$0$$

Задача 2:

$$\sin \left( 5 \arccos 0 \right)$$

2.1 Определение $\arccos 0$

Для $\arccos 0$ ищем угол $y$, для которого $\cos y = 0$. Известно, что $\cos \frac{\pi}{2} = 0$. Следовательно:

$$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$$

2.2 Подставляем в исходное выражение

Теперь подставим найденное значение $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$ в выражение:

$$\sin \left( 5 \arccos 0 \right) = \sin \left( 5 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{5\pi}{2}$$

2.3 Преобразование угла $\frac{5\pi}{2}$

Мы знаем, что:

$$\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$$

Используем периодичность синуса:

$$\sin \left( 2\pi + \theta \right) = \sin \theta$$

Таким образом:

$$\sin \frac{5\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2}$$

2.4 Значение $\sin \frac{\pi}{2}$

Известно, что:

$$\sin \frac{\pi}{2} = 1$$

Ответ:

$$1$$