ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 815 Алимов — Подробные Ответы

Найти f'(1), если:

1. f(x)= (x2-1)/(x2+1);
2. f(x) =2×2/(1-7x).

1. $f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 + 1}$;

$f'(x) = \frac{(x^2 — 1)’ \cdot (x^2 + 1) — (x^2 — 1) \cdot (x^2 + 1)’}{(x^2 + 1)^2}$;

$f'(x) = \frac{2x \cdot (x^2 + 1) — (x^2 — 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$;

$f'(x) = \frac{2x^3 + 2x — 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$;

Значение производной:

$f'(1) = \frac{4}{(1^2 + 1)^2} = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$;

Ответ: 1.

2. $f(x) = \frac{2x^2}{1 — 7x}$;

$f'(x) = \frac{(2x^2)’ \cdot (1 — 7x) — 2x^2 \cdot (1 — 7x)’}{(1 — 7x)^2}$;

$f'(x) = \frac{2 \cdot 2x \cdot (1 — 7x) — 2x^2 \cdot (-7)}{(1 — 7x)^2}$;

$f'(x) = \frac{4x — 28x^2 + 14x^2}{(1 — 7x)^2} = \frac{4x — 14x^2}{(1 — 7x)^2}$;

Значение производной:

$f'(1) = \frac{4 — 14 \cdot 1^2}{(1 — 7 \cdot 1)^2} = \frac{4 — 14}{(-6)^2} = \frac{-10}{36} = -\frac{5}{18}$;

Ответ: —$\frac{5}{18}$.

1) $f(x) = \dfrac{x^2 — 1}{x^2 + 1}$

Это дробь, поэтому используем правило производной частного:

$$\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)’ = \frac{u'(x)v(x) — u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$$

Где:

• $u(x) = x^2 — 1$
• $v(x) = x^2 + 1$

Шаг 1: Найдём производные числителя и знаменателя

• $u'(x) = (x^2 — 1)’ = 2x$
• $v'(x) = (x^2 + 1)’ = 2x$

Шаг 2: Подставим в формулу

$$f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) — (x^2 — 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$$

Шаг 3: Раскроем скобки в числителе

Первая часть:

$$2x(x^2 + 1) = 2x^3 + 2x$$

Вторая часть:

$$(x^2 — 1) \cdot 2x = 2x(x^2 — 1) = 2x^3 — 2x$$

Теперь подставим обе части:

$$f'(x) = \frac{(2x^3 + 2x) — (2x^3 — 2x)}{(x^2 + 1)^2}$$

Шаг 4: Упростим числитель

$$2x^3 + 2x — 2x^3 + 2x = (2x^3 — 2x^3) + (2x + 2x) = 0 + 4x = 4x$$

Шаг 5: Финальный вид производной

$$f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$$

Шаг 6: Найдём значение производной при $x = 1$

Подставим:

$$f'(1) = \frac{4 \cdot 1}{(1^2 + 1)^2} = \frac{4}{(1 + 1)^2} = \frac{4}{4} = 1$$

Ответ: 1

2) $f(x) = \dfrac{2x^2}{1 — 7x}$

Опять применим правило производной частного:

Здесь:

• $u(x) = 2x^2$, тогда $u'(x) = 4x$
• $v(x) = 1 — 7x$, тогда $v'(x) = -7$

Шаг 1: Применим правило

$$f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$$ $$f'(x) = \frac{4x \cdot (1 — 7x) — 2x^2 \cdot (-7)}{(1 — 7x)^2}$$

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе

• $4x(1 — 7x) = 4x — 28x^2$
• $2x^2 \cdot (-7) = -14x^2$, но стоит знак минус перед всей частью, поэтому получится:

  $$-(-14x^2) = +14x^2$$

Теперь сложим:

$$f'(x) = \frac{4x — 28x^2 + 14x^2}{(1 — 7x)^2}$$

Шаг 3: Упростим числитель

$$4x — 28x^2 + 14x^2 = 4x — 14x^2$$

Шаг 4: Финальная форма производной

$$f'(x) = \frac{4x — 14x^2}{(1 — 7x)^2}$$

Шаг 5: Подставим $x = 1$

В числителе:

$$4x — 14x^2 = 4 — 14 = -10$$

В знаменателе:

$$(1 — 7 \cdot 1)^2 = (-6)^2 = 36$$ $$f'(1) = \frac{-10}{36} = -\frac{5}{18}$$

Ответ: $-\dfrac{5}{18}$