ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 499 Алимов — Подробные Ответы

1. sin(пи/2 + a);
2. sin(пи/2 + b);
3. cos (пи/2 — a);
4. cos(3пи/2 + a);
5. sina;
6. cosa.

Выразить синус, косинус или тангенс, используя формулы двойного угла:

1. $\sin\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = 2 \sin\frac{\frac{\pi}{2} + a}{2} \cdot \cos\frac{\frac{\pi}{2} + a}{2} = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2}\right)$
2. $\sin\left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) = 2 \sin\frac{\frac{\pi}{4} + \beta}{2} \cdot \cos\frac{\frac{\pi}{4} + \beta}{2} = 2 \sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\beta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\beta}{2}\right)$
3. $\cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \cos^2\frac{\frac{\pi}{2} — a}{2} — \sin^2\frac{\frac{\pi}{2} — a}{2} = \cos^2\left(\frac{\pi}{4} — \frac{a}{2}\right) — \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — \frac{a}{2}\right)$
4. $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = \cos^2\frac{\frac{3\pi}{2} + a}{2} — \sin^2\frac{\frac{3\pi}{2} + a}{2} = \cos^2\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{a}{2}\right) — \sin^2\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{a}{2}\right)$
5. $\sin a = 2 \sin\frac{a}{2} \cdot \cos\frac{a}{2}$
6. $\cos a = \cos^2\frac{a}{2} — \sin^2\frac{a}{2}$

В этом задании нужно выразить тригонометрические функции с помощью формул двойного угла и формул для половинного угла.

Основные формулы, которые используются:

• Формула синуса двойного угла:

$$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$$

• Формула косинуса двойного угла:

$$\cos 2\theta = \cos^2 \theta — \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta — 1 = 1 — 2 \sin^2 \theta$$

1) Выразить $\sin\left(\frac{\pi}{2} + a\right)$

Шаг 1: Представим угол как удвоение половинного угла:

$$\frac{\pi}{2} + a = 2 \cdot \frac{\frac{\pi}{2} + a}{2}.$$

Шаг 2: Используем формулу синуса двойного угла:

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta,$$

где

$$\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{a}{2}.$$

Шаг 3: Получаем:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2}\right).$$

2) Выразить $\sin\left(\frac{\pi}{4} + \beta\right)$

Аналогично:

$$\frac{\pi}{4} + \beta = 2 \cdot \frac{\frac{\pi}{4} + \beta}{2} = 2 \cdot \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\beta}{2}\right).$$

По формуле синуса двойного угла:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\beta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\beta}{2}\right).$$

3) Выразить $\cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right)$

Шаг 1: Представляем угол как двойной:

$$\frac{\pi}{2} — a = 2 \cdot \frac{\frac{\pi}{2} — a}{2} = 2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} — \frac{a}{2}\right).$$

Шаг 2: Используем формулу косинуса двойного угла:

$$\cos 2\theta = \cos^2 \theta — \sin^2 \theta,$$

где

$$\theta = \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2}.$$

Шаг 3: Получаем:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{4} — \frac{a}{2}\right) — \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — \frac{a}{2}\right).$$

4) Выразить $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\right)$

Аналогично:

$$\frac{3\pi}{2} + a = 2 \cdot \frac{\frac{3\pi}{2} + a}{2} = 2 \cdot \left(\frac{3\pi}{4} + \frac{a}{2}\right).$$

По формуле косинуса двойного угла:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = \cos^2\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{a}{2}\right) — \sin^2\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{a}{2}\right).$$

5) Выразить $\sin a$

По формуле синуса двойного угла для $\theta = \frac{a}{2}$:

$$\sin a = \sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2}.$$

6) Выразить $\cos a$

По формуле косинуса двойного угла для $\theta = \frac{a}{2}$:

$$\cos a = \cos(2\theta) = \cos^2 \theta — \sin^2 \theta = \cos^2 \frac{a}{2} — \sin^2 \frac{a}{2}.$$