ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 660 Алимов — Подробные Ответы

1. 2 sin2 x + sin x = 0;
2. 3 sin2 x — 5 sin x -2 = 0;
3. cos2 x — 2 cos x = 0;
4. 6 cos2 x + 7 cos x — 3 = 0.

$2 \sin^2 x + \sin x = 0$;

Пусть $y = \sin x$, тогда:
$2y^2 + y = 0;$
$y(2y + 1) = 0;$
$y_1 = 0 \quad \text{и} \quad y_2 = -\frac{1}{2};$

Первое уравнение:
$\sin x = 0;$
$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$

Второе уравнение:
$\sin x = -\frac{1}{2};$
$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Ответ: $\pi n, (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

$3 \sin^2 x — 5 \sin x — 2 = 0$;

Пусть $y = \sin x$, тогда:
$3y^2 — 5y — 2 = 0;$
$D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49, \text{тогда:}$
$y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = 2;$

Первое уравнение:
$\sin x = -\frac{1}{3};$
$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n;$

Второе уравнение:
$\sin x = 2 \quad \text{— корней нет; }$

Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n$.

$\cos^2 x — 2 \cos x = 0$;

Пусть $y = \cos x$, тогда:
$y^2 — 2y = 0;$
$y(y — 2) = 0;$
$y_1 = 0 \quad \text{и} \quad y_2 = 2;$

Первое уравнение:
$\cos x = 0;$
$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$

Второе уравнение:
$\cos x = 2 \quad \text{— корней нет; }$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

$6 \cos^2 x + 7 \cos x — 3 = 0$;

Пусть $y = \cos x$, тогда:
$6y^2 + 7y — 3 = 0;$
$D = 7^2 + 4 \cdot 6 \cdot 3 = 49 + 72 = 121 = 11^2, \text{тогда:}$
$y_1 = \frac{-7 — 11}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3};$

Первое уравнение:
$\cos x = -\frac{3}{2} \quad \text{— корней нет; }$

Второе уравнение:
$\cos x = \frac{1}{3};$
$x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$

Ответ: $\pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$.

Задача 1: $2 \sin^2 x + \sin x = 0$

Шаг 1: Введение подстановки.

Для упрощения уравнения введем подстановку. Пусть:

$$y = \sin x.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$2y^2 + y = 0.$$

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение.

Разложим уравнение на множители:

$$y(2y + 1) = 0.$$

Это уравнение имеет два решения:

$$y_1 = 0 \quad \text{и} \quad y_2 = -\frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Рассматриваем первое решение $y_1 = 0$.

Если $\sin x = 0$, то $x$ принимает значения:

$$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n,$$

где $n$ — целое число.

Шаг 4: Рассматриваем второе решение $y_2 = -\frac{1}{2}$.

Если $\sin x = -\frac{1}{2}$, то $x$ принимает значения:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Шаг 5: Итоговые решения.

Ответ:

$$x = \pi n, \quad (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Задача 2: $3 \sin^2 x — 5 \sin x — 2 = 0$

Шаг 1: Введение подстановки.

Для упрощения уравнения введем подстановку. Пусть:

$$y = \sin x.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$3y^2 — 5y — 2 = 0.$$

Шаг 2: Рассчитываем дискриминант.

В данном уравнении коэффициенты: $a = 3$, $b = -5$, $c = -2$.

Дискриминант рассчитываем по формуле:

$$D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49.$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Теперь решаем уравнение с использованием формулы для корней:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 — 7}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3},$$ $$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2.$$

Шаг 4: Рассматриваем первое решение $y_1 = -\frac{1}{3}$.

Если $\sin x = -\frac{1}{3}$, то:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n.$$

Шаг 5: Рассматриваем второе решение $y_2 = 2$.

Однако, $\sin x$ не может быть больше 1, поэтому для $\sin x = 2$ решений нет.

Шаг 6: Итоговое решение.

Ответ:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n.$$

Задача 3: $\cos^2 x — 2 \cos x = 0$

Шаг 1: Введение подстановки.

Для упрощения уравнения введем подстановку. Пусть:

$$y = \cos x.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 — 2y = 0.$$

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение.

Разложим уравнение на множители:

$$y(y — 2) = 0.$$

Это уравнение имеет два решения:

$$y_1 = 0 \quad \text{и} \quad y_2 = 2.$$

Шаг 3: Рассматриваем первое решение $y_1 = 0$.

Если $\cos x = 0$, то $x$ принимает значения:

$$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Шаг 4: Рассматриваем второе решение $y_2 = 2$.

Однако, $\cos x$ не может быть больше 1, поэтому для $\cos x = 2$ решений нет.

Шаг 5: Итоговое решение.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Задача 4: $6 \cos^2 x + 7 \cos x — 3 = 0$

Шаг 1: Введение подстановки.

Для упрощения уравнения введем подстановку. Пусть:

$$y = \cos x.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$6y^2 + 7y — 3 = 0.$$

Шаг 2: Рассчитываем дискриминант.

В данном уравнении коэффициенты: $a = 6$, $b = 7$, $c = -3$.

Дискриминант рассчитываем по формуле:

$$D = b^2 — 4ac = 7^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121.$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-7 — \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 — 11}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2},$$ $$y_2 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 + 11}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}.$$

Шаг 4: Рассматриваем первое решение $y_1 = -\frac{3}{2}$.

Так как $\cos x$ не может быть меньше -1 и больше 1, для $y_1 = -\frac{3}{2}$ решений нет.

Шаг 5: Рассматриваем второе решение $y_2 = \frac{1}{3}$.

Если $\cos x = \frac{1}{3}$, то $x$ принимает значения:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

Шаг 6: Итоговое решение.

Ответ:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$$

Итоговые ответы:

1. $x = \pi n, (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.
2. $x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n$.
3. $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
4. $x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$.