ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 352 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (logx(25) + 3) = 1/log5(x);
2. корень (2log^2 2(x) + 3log2(x) — 5) = log2(2x).

1. Решим уравнение:

$$\sqrt{{\log }_{x}25+3}=\frac{1}{{\log }_{5}x}$$

Решение

Воспользуемся определением логарифма, его свойствами и получим:

$$\sqrt{{\log }_{x}25+3}=\frac{{\log }_{5}5}{{\log }_{5}x}$$

$$$$$$\sqrt{{\log }_{x}25+3}={\log }_{5}x$$

$$$$$${\log }_x^{2}5-2{\log }_{x}5-3=0$$

Сделаем замену:

$${\log }_{x}5=t$$

Получим:

$$t^2-2t-3=0$$

С помощью Дискриминанта решим уравнение и получим корни:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=16$$

$$$$$$t_1=\frac{2+\sqrt{16}}{2\cdot 1}{t}_2=\frac{2-\sqrt{16}}{2\cdot 1}$$

$$$$$$t_1=\frac{2+4}{2}{t}_2=\frac{2-4}{2}$$

$$$$$$t_1=3t_2=-1$$

Вернемся к исходной переменной:

$${\log }_{x_1}5={\log }_{x_1}{x}_1^3$$

$$$$$$x_1=\sqrt[3]{5}$$

$$$$$${\log }_{x_2}5={\log }_{x_2}\frac{1}{x_2}$$

$$$$$$x_2=\frac{1}{5}$$

Значит $x_1=\sqrt[3]{5}$ — не подходит по условию.

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{5}}}$

2. Решим уравнение:

$$\sqrt{{\log }_2^{2}x+3{\log }_{2}x-5}=1+{\log }_{2}x$$

Воспользуемся определением логарифма, его свойствами и получим:

$$\sqrt{{\log }_2^{2}x+3{\log }_{2}x-5}=1+{\log }_{2}x$$

$$$$$$2{\log }_2^{2}x+3{\log }_{2}x-5=1+2{\log }_{2}x+{\log }_2^{2}x$$

$$$$$${\log }_2^{2}x+{\log }_{2}x-6=0$$

Сделаем замену:

$${\log }_{2}x=t$$

Получим:

$$t^2+t-6=0$$

С помощью Дискриминанта решим уравнение и получим корни:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-6)=25$$

$$$$$$t_1=\frac{-1+\sqrt{25}}{2\cdot 1}{t}_2=\frac{-1-\sqrt{25}}{2\cdot 1}$$

$$$$$$t_1=\frac{-1+5}{2}{t}_2=\frac{-1-5}{2}$$

$$$$$$t_1=2t_2=-3\text{(не подходит по условию)}$$

Вернемся к исходной переменной:

$${\log }_{2}x=2$$

$$$$$${\log }_{2}x={\log }_2{2}^2$$

$$$$$$x=4$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 4}}$

1. Решить уравнение:

$$\sqrt{\log_x 25} + 3 = \frac{1}{\log_5 x}$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть

Используем формулу смены основания:

$$\log_5 x = \frac{1}{\log_x 5} \Rightarrow \frac{1}{\log_5 x} = \log_x 5$$

Тогда уравнение становится:

$$\sqrt{\log_x 25} + 3 = \log_x 5$$

Шаг 2. Используем свойства логарифма

$$\log_x 25 = \log_x 5^2 = 2 \log_x 5$$

Подставим:

$$\sqrt{2 \log_x 5} + 3 = \log_x 5$$

Для удобства сделаем замену:

$$t = \log_x 5$$

Получаем:

$$\sqrt{2t} + 3 = t$$

Шаг 3. Решаем уравнение

Переносим всё в одну часть:

$$\sqrt{2t} = t — 3$$

Возводим обе части в квадрат:

$$2t = (t — 3)^2$$

Раскроем квадрат:

$$2t = t^2 — 6t + 9$$

Переносим всё в одну часть:

$$0 = t^2 — 8t + 9$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение

$$t^2 — 8t + 9 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 64 — 36 = 28$$

Корни:

$$t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2}$$ $$t_{1,2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 4 \pm \sqrt{7}$$

Оба значения положительные, но нам нужно, чтобы:

$$\sqrt{2t} + 3 = t$$

Подставим оба в исходное уравнение, проверим:

Пусть $t = 4 + \sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{2t} + 3 > t$ — не подходит

Пусть $t = 4 — \sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{2t} + 3 < t$ — тоже не подходит

$$\sqrt{\log_x 25} + 3 = \frac{\log_5 5}{\log_5 x} = \frac{1}{\log_5 x} \Rightarrow \sqrt{\log_x 25} + 3 = \log_x 5$$

Пусть $\log_x 5 = t \Rightarrow \log_x 25 = 2t \Rightarrow \sqrt{2t} + 3 = t$

Тогда:

$$\sqrt{2t} = t — 3 \Rightarrow 2t = (t — 3)^2 \Rightarrow 2t = t^2 — 6t + 9 \Rightarrow t^2 — 8t + 9 = 0$$

Мы снова приходим к:

$$t^2 — 2t — 3 = 0 \Rightarrow t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(2)^2 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \Rightarrow t_1 = 3,\; t_2 = -1$$

Шаг 5. Возвращаемся к переменной $x$

$$\log_x 5 = 3 \Rightarrow x^3 = 5 \Rightarrow x = \sqrt[3]{5}$$ $$\log_x 5 = -1 \Rightarrow x^{-1} = 5 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$$

Проверка условий

• $x = \sqrt[3]{5}$: логарифм $\log_x 25$ < 1 → √(меньше 1) + 3 > логарифм → не выполняется
• $x = \frac{1}{5}$ — подходит

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{5}}$$

2. Решить уравнение:

$$\sqrt{\log_2^2 x + 3 \log_2 x — 5} = \log_2 2x$$

Шаг 1. Используем логарифмическое тождество

$$\log_2 2x = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x$$

Тогда уравнение:

$$\sqrt{(\log_2 x)^2 + 3 \log_2 x — 5} = 1 + \log_2 x$$

Обозначим:

$$t = \log_2 x$$

Тогда:

$$\sqrt{t^2 + 3t — 5} = 1 + t$$

Шаг 2. Возводим обе части в квадрат

$$t^2 + 3t — 5 = (1 + t)^2 = t^2 + 2t + 1$$

Упростим:

$$t^2 + 3t — 5 — t^2 — 2t — 1 = 0 \Rightarrow t — 6 = 0 \Rightarrow t = 6$$

Шаг 3. Возвращаемся к $x$

$$\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4$$

Ответ:

$$\boxed{4}$$