ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 701 Алимов — Подробные Ответы

1. y=sinx+x;
2. y=cos(x-пи/2) — x2;
3. y=3-cos(пи/2+x)sin(пи-x);
4. y=1/2cos2xsin(3пи/2 — 2x)+3;
5. y=six/x + sinxcosx;
6. y=x2+(1+cos)/2.

1. $y = \sin x + x$;
   $y(-x) = \sin(-x) — x = -\sin x — x = -(\sin x + x) = -y(x)$;
   Ответ: нечетная.
2. $y = \cos \left( x — \frac{\pi}{2} \right) — x^2 = \cos \left( \frac{\pi}{2} — x \right) — x^2 = \sin x — x^2$;
   $y(-x) = \sin(-x) — (-x)^2 = -\sin x — x^2$;
   Ответ: ни четная, ни нечетная.
3. $y = 3 — \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) \cdot \sin (\pi — x) = 3 + \sin x \cdot \sin x = 3 + \sin^2 x$;
   $y(-x) = 3 + \sin^2(-x) = 3 + (-\sin x)^2 = 3 + \sin^2 x = y(x)$;
   Ответ: четная.
4. $y = \frac{1}{2} \cos 2x \cdot \sin \left( \frac{3\pi}{2} — 2x \right) + 3 = -\frac{1}{2} \cos 2x \cdot \cos 2x + 3 = -\frac{1}{2} \cos^2 2x + 3$;
   $y(-x) = -\frac{1}{2} \cdot \cos^2(-2x) + 3 = -\frac{1}{2} \cdot \cos^2 2x + 3 = y(x)$;
   Ответ: четная.
5. $y = \frac{\sin x}{x} + \sin x \cdot \cos x = \sin x \cdot \left( \frac{1}{x} + \cos x \right)$;
   $y(-x) = \sin(-x) \cdot \left( \frac{1}{-x} + \cos(-x) \right) = -\sin x \cdot \left( -\frac{1}{x} + \cos x \right)$;
   Ответ: ни четная, ни нечетная.
6. $y = x^2 + \frac{1 + \cos x}{2} = x^2 + \cos^2 \frac{x}{2}$;
   $y(-x) = (-x)^2 + \cos^2 \left( -\frac{x}{2} \right) = x^2 + \cos^2 \frac{x}{2} = y(x)$;
   Ответ: четная.

Определения:

• Функция $y(x)$ — чётная, если для всех $x$ из области определения $y(-x) = y(x)$.
• Функция $y(x)$ — нечётная, если для всех $x$ $y(-x) = -y(x)$.
• Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция — ни чётная, ни нечётная.

1) $y = \sin x + x$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = \sin(-x) + (-x)$$

Шаг 2: Используем свойства синуса:

$$\sin(-x) = -\sin x$$

Шаг 3: Подставляем:

$$y(-x) = -\sin x — x = -(\sin x + x) = -y(x)$$

Вывод: функция $y$ удовлетворяет условию нечётности.

2) $y = \cos \left( x — \frac{\pi}{2} \right) — x^2$

Шаг 1: Используем формулу косинуса разности:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{2} \right) = \cos \frac{\pi}{2} \cos x + \sin \frac{\pi}{2} \sin x = 0 \cdot \cos x + 1 \cdot \sin x = \sin x$$

Шаг 2: Значит, функция:

$$y = \sin x — x^2$$

Шаг 3: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = \sin (-x) — (-x)^2 = -\sin x — x^2$$

Шаг 4: Сравним с $y(x) = \sin x — x^2$:

$$y(-x) = -\sin x — x^2 \neq y(x), \quad y(-x) \neq -y(x)$$

Вывод: функция $y$ — ни чётная, ни нечётная.

3) $y = 3 — \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) \cdot \sin (\pi — x)$

Шаг 1: Используем свойства косинуса и синуса:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin x$$ $$\sin (\pi — x) = \sin x$$

Шаг 2: Подставляем:

$$y = 3 — (-\sin x) \cdot \sin x = 3 + \sin^2 x$$

Шаг 3: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = 3 + \sin^2 (-x) = 3 + (-\sin x)^2 = 3 + \sin^2 x = y(x)$$

Вывод: функция $y$ чётная.

4) $y = \frac{1}{2} \cos 2x \cdot \sin \left( \frac{3\pi}{2} — 2x \right) + 3$

Шаг 1: Используем формулы:

$$\sin \left( \frac{3\pi}{2} — 2x \right) = -\cos 2x$$

Шаг 2: Тогда

$$y = \frac{1}{2} \cos 2x \cdot (-\cos 2x) + 3 = -\frac{1}{2} \cos^2 2x + 3$$

Шаг 3: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = -\frac{1}{2} \cos^2 (-2x) + 3 = -\frac{1}{2} \cos^2 2x + 3 = y(x)$$

Вывод: функция $y$ чётная.

5) $y = \frac{\sin x}{x} + \sin x \cdot \cos x = \sin x \cdot \left( \frac{1}{x} + \cos x \right)$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = \sin (-x) \cdot \left( \frac{1}{-x} + \cos (-x) \right) = (-\sin x) \cdot \left( -\frac{1}{x} + \cos x \right)$$

Шаг 2: Упростим:

$$y(-x) = -\sin x \cdot \left( -\frac{1}{x} + \cos x \right) = \sin x \cdot \left( \frac{1}{x} — \cos x \right)$$

Шаг 3: Сравним с $y(x) = \sin x \cdot \left( \frac{1}{x} + \cos x \right)$:

$$y(-x) \neq y(x), \quad y(-x) \neq -y(x)$$

Вывод: функция $y$ — ни чётная, ни нечётная.

6) $y = x^2 + \frac{1 + \cos x}{2} = x^2 + \cos^2 \frac{x}{2}$

Шаг 1: Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = (-x)^2 + \frac{1 + \cos (-x)}{2} = x^2 + \frac{1 + \cos x}{2}$$

Шаг 2: Используем свойство косинуса:

$$\cos (-x) = \cos x$$

Шаг 3: Значит,

$$y(-x) = y(x)$$

Вывод: функция $y$ чётная.