ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 226 Алимов — Подробные Ответы

1. 4*9x — 13*6x + 9*4x = 0;
2. 16*9x — 25*12x + 9*16x=0;
3. корень x степени 2 * корень 2x степени 3 = 12;
4. корень x степени 5 * 5x =25.

1)

$$4 \cdot 9^x — 13 \cdot 6^x + 9 \cdot 4^x = 0 \quad | : 4^x;$$ $$4 \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^x — 13 \cdot \left(\frac{6}{4}\right)^x + 9 = 0;$$ $$4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} — 13 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 9 = 0;$$

Пусть $y = \left(\frac{3}{2}\right)^x$, тогда:

$$4y^2 — 13y + 9 = 0;$$ $$D = 13^2 — 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 — 144 = 25;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{13 — 5}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1;$$ $$y_2 = \frac{13 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4};$$

Первое значение:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1;$$ $$\left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^0, \text{отсюда } x = 0;$$

Второе значение:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{9}{4};$$ $$\left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^2, \text{отсюда } x = 2;$$

Ответ: $x_1 = 0; \, x_2 = 2$.

2)

$$16 \cdot 9^x — 25 \cdot 12^x + 9 \cdot 16^x = 0 \quad | : 16^x;$$ $$16 \cdot \left(\frac{9}{16}\right)^x — 25 \cdot \left(\frac{12}{16}\right)^x + 9 = 0;$$ $$16 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} — 25 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 9 = 0;$$

Пусть $y = \left(\frac{3}{4}\right)^x$, тогда:

$$16y^2 — 25y + 9 = 0;$$ $$D = 25^2 — 4 \cdot 16 \cdot 9 = 625 — 576 = 49;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{25 — 7}{2 \cdot 16} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16};$$ $$y_2 = \frac{25 + 7}{2 \cdot 16} = \frac{32}{32} = 1;$$

Первое значение:

$$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{9}{16};$$ $$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^2, \text{отсюда } x = 2;$$

Второе значение:

$$\left(\frac{3}{4}\right)^x = 1;$$ $$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^0, \text{отсюда } x = 0;$$

Ответ: $x_1 = 2; \, x_2 = 0$.

3)

$$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3} = 12;$$ $$2^{x/3} \cdot 3^{x/3} = 12;$$ $$(2 \cdot 3)^{x/3} = 12;$$ $$12^{x/3} = 12^1;$$ $$\frac{x}{3} = 1;$$ $$x = 3;$$

Ответ: $x = 3$.

4)

$$\sqrt[3]{5} \cdot 5^x = 25;$$ $$5^{1/3} \cdot 5^x = 5^2;$$ $$5^{1/3 + x} = 5^2;$$ $$\frac{1}{3} + x = 2;$$ $$x = 2 — \frac{1}{3} = \frac{6}{3} — \frac{1}{3} = \frac{5}{3};$$

Ответ: $x = \frac{5}{3}$.

1)

Уравнение:

$$4 \cdot 9^x — 13 \cdot 6^x + 9 \cdot 4^x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $4^x$, чтобы упростить выражения:

$$\frac{4 \cdot 9^x}{4^x} — \frac{13 \cdot 6^x}{4^x} + \frac{9 \cdot 4^x}{4^x} = 0$$

Преобразуем каждую степень:

$$4 \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^x — 13 \cdot \left(\frac{6}{4}\right)^x + 9 = 0$$

Дальше, заметим, что $\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$ и $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$, поэтому уравнение принимает вид:

$$4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} — 13 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 9 = 0$$

Пусть $y = \left(\frac{3}{2}\right)^x$, тогда уравнение превращается в квадратное:

$$4y^2 — 13y + 9 = 0$$

Находим дискриминант для квадратного уравнения:

$$D = (-13)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 — 144 = 25$$

Теперь находим корни квадратного уравнения по формуле:

$$y_1 = \frac{-(-13) — \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{13 — 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$$ $$y_2 = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{13 + 5}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$$

Полученные значения $y_1 = 1$ и $y_2 = \frac{9}{4}$ подставляем в исходное выражение для $y$.

• Для $y_1 = 1$:

  $$\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1$$

  Это уравнение имеет решение $x = 0$, так как $\left(\frac{3}{2}\right)^0 = 1$.

• Для $y_2 = \frac{9}{4}$:

  $$\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{9}{4}$$

  Это уравнение решается как $\left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^2$, что даёт решение $x = 2$.

Ответ: $x_1 = 0; \, x_2 = 2$.

2)

Уравнение:

$$16 \cdot 9^x — 25 \cdot 12^x + 9 \cdot 16^x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $16^x$, чтобы упростить выражения:

$$\frac{16 \cdot 9^x}{16^x} — \frac{25 \cdot 12^x}{16^x} + \frac{9 \cdot 16^x}{16^x} = 0$$

Преобразуем каждую степень:

$$16 \cdot \left(\frac{9}{16}\right)^x — 25 \cdot \left(\frac{12}{16}\right)^x + 9 = 0$$

Дальше, заметим, что $\frac{9}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2$ и $\frac{12}{16} = \frac{3}{4}$, поэтому уравнение принимает вид:

$$16 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} — 25 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 9 = 0$$

Пусть $y = \left(\frac{3}{4}\right)^x$, тогда уравнение превращается в квадратное:

$$16y^2 — 25y + 9 = 0$$

Находим дискриминант для квадратного уравнения:

$$D = (-25)^2 — 4 \cdot 16 \cdot 9 = 625 — 576 = 49$$

Теперь находим корни квадратного уравнения по формуле:

$$y_1 = \frac{-(-25) — \sqrt{49}}{2 \cdot 16} = \frac{25 — 7}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$$ $$y_2 = \frac{-(-25) + \sqrt{49}}{2 \cdot 16} = \frac{25 + 7}{32} = \frac{32}{32} = 1$$

Полученные значения $y_1 = \frac{9}{16}$ и $y_2 = 1$ подставляем в исходное выражение для $y$.

• Для $y_1 = \frac{9}{16}$:

  $$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{9}{16}$$

  Это уравнение решается как $\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^2$, что даёт решение $x = 2$.

• Для $y_2 = 1$:

  $$\left(\frac{3}{4}\right)^x = 1$$

  Это уравнение имеет решение $x = 0$, так как $\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1$.

Ответ: $x_1 = 2; \, x_2 = 0$.

3)

Уравнение:

$$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3} = 12$$

Перепишем это уравнение в виде степеней:

$$2^{x/3} \cdot 3^{x/3} = 12$$

Объединим множители:

$$(2 \cdot 3)^{x/3} = 12$$

Упростим:

$$12^{x/3} = 12^1$$

Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели степени:

$$\frac{x}{3} = 1$$

Умножаем обе части на 3:

$$x = 3$$

Ответ: $x = 3$.

4)

Уравнение:

$$\sqrt[3]{5} \cdot 5^x = 25$$

Перепишем это уравнение в виде степеней:

$$5^{1/3} \cdot 5^x = 5^2$$

Объединим множители с одинаковыми основаниями:

$$5^{1/3 + x} = 5^2$$

Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели степени:

$$\frac{1}{3} + x = 2$$

Вычитаем $\frac{1}{3}$ из обеих частей:

$$x = 2 — \frac{1}{3} = \frac{6}{3} — \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$$

Ответ: $x = \frac{5}{3}$.