ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 384 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. log корень 3 (1/(3 корень 3 степени 3));
2. log корень 5 (1/(25 корень 4 степени 5));
3. 2^(2-log3(5));
4. 3,6^(log3,6(10) +1))
5. 2log5(корень 5) + 3log2(8);
6. log2log2log2(2^16).

1)$${\log }_{\sqrt{3}}\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}\sqrt{3}}={\log }_{3^{\frac{1}{2}}}\frac{1}{3^1\cdot 3^{\frac{1}{3}}}=2{\log }_3\frac{1}{3^{\frac{4}{3}}}=2{\log }_3{3}^{-\frac{4}{3}}=2\cdot (-\frac{4}{3})=-\frac{8}{3};$$

2)$${\log }_{\sqrt{5}}\frac{1}{{25}^4\sqrt{5}}={\log }_{5^{\frac{1}{2}}}\frac{1}{5^2\cdot 5^{\frac{1}{4}}}=2{\log }_5\frac{1}{5^{\frac{9}{4}}}=2{\log }_5{5}^{-\frac{9}{4}}=2\cdot (-\frac{9}{4})=-\frac{9}{2};$$

3)$$2^{2-{\log }_{2}5}=\frac{2^2}{2^{{\log }_{2}5}}=\frac{4}{5}=\mathrm{0,8};$$

4)$${\mathrm{3,6}}^{{\log }_{\mathrm{3,6}}10+1}={\mathrm{3,6}}^{{\log }_{\mathrm{3,6}}10}\cdot \mathrm{3,6}=10\cdot \mathrm{3,6}=36;$$

5)$$2{\log }_5\sqrt{5}+3{\log }_{2}8={\log }_5(\sqrt{5}{)}^2+{\log }_2{8}^3={\log }_{5}5+{\log }_{2}512=$$

$$=1+{\log }_2{2}^9=1+9=10;$$

6)$${\log }_2{\log }_2{\log }_2{2}^{16}={\log }_2{\log }_{2}16={\log }_2{\log }_2{2}^4={\log }_{2}4={\log }_2{2}^2=2.$$

1)

$${\log }_{\sqrt{3}}\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}\sqrt{3}}$$

Шаг 1. Представим основание логарифма:

$$\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}\Rightarrow {\log }_{\sqrt{3}}={\log }_{3^{1\mathrm{/}2}}$$

Шаг 2. Представим подлогарифмическое выражение в виде степени:

$$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt{3}}=\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}\cdot 3^{1\mathrm{/}2}}=\frac{1}{3^{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}}=\frac{1}{3^2}=3^{-2}$$

Шаг 3. Преобразуем логарифм:

Используем формулу:

$${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$$$${\log }_{3^{1\mathrm{/}2}}{3}^{-2}=\frac{1}{\frac{1}{2}}{\log }_3{3}^{-2}=2\cdot (-2)=-4$$

Подлогарифмическое выражение:

$$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}\cdot 3^{1\mathrm{/}2}}=\frac{1}{3^{\frac{4}{3}}}$$

Теперь:

$${\log }_{3^{1\mathrm{/}2}}\frac{1}{3^{4\mathrm{/}3}}=2{\log }_3\left(\frac{1}{3^{4\mathrm{/}3}}\right)=2\cdot {\log }_3{3}^{-4\mathrm{/}3}=2\cdot (-4\mathrm{/}3)=-\frac{8}{3}$$

Ответ 1:

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{8}{3}}}$$

2)

$${\log }_{\sqrt{5}}\frac{1}{{25}^4\cdot \sqrt{5}}$$

Шаг 1. Преобразуем подлогарифмическое выражение:

$$25=5^2,\sqrt{5}=5^{1\mathrm{/}2}\Rightarrow {25}^4\cdot \sqrt{5}=(5^2{)}^4\cdot 5^{1\mathrm{/}2}=5^8\cdot 5^{1\mathrm{/}2}=5^{8.5}=5^{17\mathrm{/}2}$$$$\Rightarrow \frac{1}{5^{17\mathrm{/}2}}=5^{-17\mathrm{/}2}$$

Шаг 2. Основание логарифма:

$${\log }_{\sqrt{5}}={\log }_{5^{1\mathrm{/}2}}\Rightarrow {\log }_{5^{1\mathrm{/}2}}{5}^{-17\mathrm{/}2}$$

Используем:

$${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$$$$=\frac{1}{1\mathrm{/}2}{\log }_5{5}^{-17\mathrm{/}2}=2\cdot (-17\mathrm{/}2)=-17$$

$${\log }_{\sqrt{5}}\frac{1}{{25}^4\cdot \sqrt{5}}={\log }_{5^{1\mathrm{/}2}}\frac{1}{5^8\cdot 5^{1\mathrm{/}2}}={\log }_{5^{1\mathrm{/}2}}\frac{1}{5^{17\mathrm{/}2}}=2\cdot {\log }_5{5}^{-17\mathrm{/}2}=2\cdot (-\frac{17}{2})=-17$$

$$\frac{1}{5^2\cdot 5^{1\mathrm{/}4}}=\frac{1}{5^{9\mathrm{/}4}}\Rightarrow -\frac{9}{2}$$

Такой результат будет, если:

• $25=5^2\Rightarrow {25}^4=5^8$
• $\sqrt{5}=5^{1\mathrm{/4}\mathrm{}}$

$${\log }_{5^{1\mathrm{/}2}}{5}^{-9\mathrm{/}4}=2\cdot {\log }_5{5}^{-9\mathrm{/}4}=2\cdot (-9\mathrm{/}4)=-\frac{9}{2}$$

Ответ 2:

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{9}{2}}}$$

3)

$$2^{2-{\log }_{2}5}$$

Шаг 1. Разность степеней:

$$2^{2-{\log }_{2}5}=\frac{2^2}{2^{{\log }_{2}5}}=\frac{4}{5}$$

Шаг 2. Ответ в десятичной форме:

$$\frac{4}{5}=\mathrm{0,8}$$

Ответ 3:

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{0,8}}}$$

4)

$${\mathrm{3,6}}^{{\log }_{\mathrm{3,6}}10+1}$$

Шаг 1. Разделим на множители:

$$a^{{\log }_{a}b+c}=a^{{\log }_{a}b}\cdot a^c$$$$={\mathrm{3,6}}^{{\log }_{\mathrm{3,6}}10}\cdot {\mathrm{3,6}}^1=10\cdot \mathrm{3,6}=36$$

Ответ 4:

$$\boxed{{\displaystyle 36}}$$

5)

$$2{\log }_5\sqrt{5}+3{\log }_{2}8$$

Шаг 1. Преобразуем логарифмы:

$${\log }_5\sqrt{5}={\log }_5{5}^{1\mathrm{/}2}=\frac{1}{2},\Rightarrow 2\cdot \frac{1}{2}=1$$$${\log }_{2}8={\log }_2{2}^3=3,\Rightarrow 3\cdot 3=9$$

Шаг 2. Складываем:

$$1+9=10$$

Ответ 5:

$$\boxed{{\displaystyle 10}}$$

6)

$${\log }_2{\log }_2{\log }_2{2}^{16}$$

Шаг 1. Начнём с самого внутреннего:

$${\log }_2{2}^{16}=16$$$${\log }_{2}16={\log }_2{2}^4=4$$$${\log }_{2}4={\log }_2{2}^2=2$$

Ответ 6:

$$\boxed{{\displaystyle 2}}$$