ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 446 Алимов — Подробные Ответы

Определить знак числа tg а, если:

1. a= 5 пи/6;
2. a= 12 пи/5;
3. a= -5 пи/4;
4. a= 3,7;
5. a= -1,3;
6. a= 283.

Определить знак числа $\operatorname{tg} a$, если:

1. $a = \frac{5}{6}\pi$;
   $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится во II четверти;
   Ответ: $\operatorname{tg} a < 0$.
2. $a = \frac{12}{5}\pi$;
   $\frac{12}{5}\pi — 2\pi = \frac{12\pi}{5} — \frac{10\pi}{5} = \frac{2\pi}{5}$;
   $0 < \frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$;
   Точка, полученная поворотом, находится в I четверти;
   Ответ: $\operatorname{tg} a > 0$.
3. $a = -\frac{5}{4}\pi$;
   $-\frac{5}{4}\pi + 2\pi = -\frac{5\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$;
   $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится во II четверти;
   Ответ: $\operatorname{tg} a < 0$.
4. $a = 3.7$;
   $\pi \approx 3.14$;
   $\pi < 3.7 < 1.5\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в III четверти;
   Ответ: $\operatorname{tg} a > 0$.
5. $a = -1.3$;
   $\pi \approx 3.14$;
   $-1.3 + 2\pi \approx -1.3 + 6.28 \approx 4.98$;
   $1.5\pi < 4.98 < 2\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в IV четверти;
   Ответ: $\operatorname{tg} a < 0$.
6. $a = 283^\circ$;
   $270^\circ < 283^\circ \leqslant 360^\circ$;
   Точка, полученная поворотом, находится в IV четверти;
   Ответ: $\operatorname{tg} a < 0$.

Напоминание:

• Тангенс угла $a$ — это отношение $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$.
• Знак тангенса зависит от знаков синуса и косинуса в соответствующей четверти.
• Четверти и знаки $\tan a$:

• Если угол $a$ не лежит в интервале $[0, 2\pi)$, приводим его, добавляя или вычитая $2\pi$.

1) $a = \frac{5}{6}\pi$

Шаг 1: Проверим, где находится угол $\frac{5}{6}\pi$.

• $\frac{\pi}{2} = \frac{3}{6}\pi$.
• $\pi = \frac{6}{6}\pi$.

Имеем:

$$\frac{\pi}{2} = \frac{3}{6}\pi < \frac{5}{6}\pi < \frac{6}{6}\pi = \pi$$

Значит, угол в II четверти.

Шаг 2: Определяем знак тангенса в II четверти.

• В II четверти: $\sin a > 0$, $\cos a < 0$.
• Тогда $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$ — знак отрицательный (положительное делённое на отрицательное).

Ответ: $\operatorname{tg} a < 0$.

2) $a = \frac{12}{5}\pi$

Шаг 1: Приведём угол к интервалу $[0, 2\pi)$:

$$2\pi = \frac{10}{5}\pi$$

Вычитаем:

$$\frac{12}{5}\pi — 2\pi = \frac{12\pi}{5} — \frac{10\pi}{5} = \frac{2\pi}{5}$$

Теперь:

$$0 < \frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$$

Шаг 2: Определяем четверть:

• Угол $\frac{2\pi}{5}$ находится в I четверти.

Шаг 3: Знак тангенса в I четверти:

• $\sin a > 0$, $\cos a > 0$
• $\tan a > 0$.

Ответ: $\operatorname{tg} a > 0$.

3) $a = -\frac{5}{4}\pi$

Шаг 1: Приводим угол к положительному:

$$-\frac{5}{4}\pi + 2\pi = -\frac{5\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

Шаг 2: Определяем четверть:

• $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}$, $\pi = \frac{4\pi}{4}$.
• $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \pi = \frac{4\pi}{4}$.

Значит, угол во II четверти.

Шаг 3: Знак тангенса во II четверти:

• $\sin a > 0$, $\cos a < 0$
• $\tan a < 0$.

Ответ: $\operatorname{tg} a < 0$.

4) $a = 3.7$ (радианы)

Шаг 1: Приблизим границы:

$$\pi \approx 3.14, \quad 1.5\pi = 1.5 \times 3.14 = 4.71$$

Шаг 2: Проверяем положение:

$$3.14 < 3.7 < 4.71$$

Следовательно, угол находится в III четверти.

Шаг 3: Знак тангенса в III четверти:

• $\sin a < 0$, $\cos a < 0$
• $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-}{-} = +$.

Ответ: $\operatorname{tg} a > 0$.

5) $a = -1.3$ (радианы)

Шаг 1: Приведём угол к положительному:

$$-1.3 + 2\pi \approx -1.3 + 6.28 = 4.98$$

Шаг 2: Границы для четверти:

$$1.5\pi = 4.71, \quad 2\pi = 6.28$$

Поскольку:

$$4.71 < 4.98 < 6.28$$

угол находится в IV четверти.

Шаг 3: Знак тангенса в IV четверти:

• $\sin a < 0$, $\cos a > 0$
• $\tan a = \frac{-}{+} = —$.

Ответ: $\operatorname{tg} a < 0$.

6) $a = 283^\circ$

Шаг 1: Определяем четверть по градусам:

• I: $0^\circ — 90^\circ$
• II: $90^\circ — 180^\circ$
• III: $180^\circ — 270^\circ$
• IV: $270^\circ — 360^\circ$

Так как:

$$270^\circ < 283^\circ \leqslant 360^\circ$$

угол в IV четверти.

Шаг 2: Знак тангенса в IV четверти:

• $\sin a < 0$, $\cos a > 0$
• $\tan a < 0$.

Ответ: $\operatorname{tg} a < 0$.