ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1320 Алимов — Подробные Ответы

1. 4sinxsin(пи/3 -x)sin(пи/3 + x)=sin3x;
2. cos3xcos6xcos12x=sin24x/8sin3x.

$4 \sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \sin 3x$;

$4 \sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \sin 3x$;

$4 \sin x \cdot \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{3} — x — \frac{\pi}{3} — x \right) — \cos \left( \frac{\pi}{3} — x + \frac{\pi}{3} + x \right) \right) = \sin 3x$;

$2 \sin x \cdot \left( \cos(-2x) — \cos \frac{2\pi}{3} \right) = \sin 3x$;

$2 \sin x \cdot \left( \cos 2x — \cos \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) \right) = \sin 3x$;

$\sin x \cdot \left( 2 \cos 2x + 2 \cos \frac{\pi}{3} \right) = \sin 3x$;

$\sin x \cdot (2 \cos 2x + 1) = \sin 3x$;

$\sin x \cdot (2 \cos^2 x — 2 \sin^2 x + \cos^2 x + \sin^2 x) = \sin 3x$;

$\sin x \cdot (3 \cos^2 x — \sin^2 x) = \sin 3x$;

$\sin x \cdot (3 — 3 \sin^2 x — \sin^2 x) = \sin 3x$;

$\sin x \cdot (3 — 4 \sin^2 x) = \sin 3x$;

$3 \sin x — 4 \sin^3 x = \sin 3x$;

Тождество доказано.

$\cos 3x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x = \frac{\sin 24x}{8 \sin 3x}$;

Умножим обе части тождества на число $8 \sin 3x$:

$8 \cdot \sin 3x \cdot \cos 3x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x = \sin 24x$;

$4 \cdot \sin 6x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x = \sin 24x$;

$2 \cdot \sin 12x \cdot \cos 12x = \sin 24x$;

$\sin 24x = \sin 24x$;

Тождество доказано.

Задача 1: Доказательство тождества с использованием формулы синуса тройного угла

Тождество:

$$4 \sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \sin 3x$$

Шаг 1: Используем формулу для произведения синусов

Для того чтобы упростить выражение, применим формулу для произведения синусов двух углов:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left( \cos(A — B) — \cos(A + B) \right)$$

Применим её к произведению $\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{3} — x — \left( \frac{\pi}{3} + x \right) \right) — \cos \left( \frac{\pi}{3} — x + \left( \frac{\pi}{3} + x \right) \right) \right)$$

Шаг 2: Упростим выражения внутри косинусов

Теперь упростим выражения в косинусах:

$$\frac{\pi}{3} — x — \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = -2x$$ $$\frac{\pi}{3} — x + \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{2\pi}{3}$$

Таким образом:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{1}{2} \left( \cos(-2x) — \cos \frac{2\pi}{3} \right)$$

Шаг 3: Используем свойство косинуса

Теперь учитываем, что косинус — чётная функция, то есть $\cos(-2x) = \cos(2x)$. Подставим это:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{1}{2} \left( \cos(2x) — \cos \frac{2\pi}{3} \right)$$

Так как $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, то:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{1}{2} \left( \cos(2x) + \frac{1}{2} \right)$$

Шаг 4: Подставим в исходное выражение

Теперь подставим полученное выражение в исходное тождество:

$$4 \sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = 4 \sin x \cdot \frac{1}{2} \left( \cos(2x) + \frac{1}{2} \right)$$

Упростим:

$$2 \sin x \cdot \left( \cos(2x) + \frac{1}{2} \right)$$

Шаг 5: Раскроем скобки

Раскроем скобки и упростим:

$$2 \sin x \cdot \cos(2x) + 2 \sin x \cdot \frac{1}{2}$$ $$2 \sin x \cdot \cos(2x) + \sin x$$

Шаг 6: Используем формулу для $\cos(2x)$

Используем формулу для $\cos(2x)$ через синус и косинус:

$$\cos(2x) = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставим это в выражение:

$$2 \sin x \cdot (\cos^2 x — \sin^2 x) + \sin x$$

Шаг 7: Вынесем $\sin x$ за скобки

Теперь вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x \cdot \left( 2 \cos^2 x — 2 \sin^2 x + 1 \right)$$

Шаг 8: Упрощаем выражение внутри скобок

Используем тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, чтобы упростить выражение внутри скобок:

$$2 \cos^2 x — 2 \sin^2 x + 1 = 3 \cos^2 x — \sin^2 x$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$\sin x \cdot (3 \cos^2 x — \sin^2 x)$$

Шаг 9: Подставим $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$

Теперь подставим $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$:

$$\sin x \cdot (3(1 — \sin^2 x) — \sin^2 x)$$

Упростим:

$$\sin x \cdot (3 — 3 \sin^2 x — \sin^2 x) = \sin x \cdot (3 — 4 \sin^2 x)$$

Шаг 10: Финальное упрощение

Получаем:

$$3 \sin x — 4 \sin^3 x = \sin 3x$$

Таким образом, тождество доказано.

Задача 2: Доказательство тождества

Тождество:

$$\cos 3x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x = \frac{\sin 24x}{8 \sin 3x}$$

Шаг 1: Умножим обе части на $8 \sin 3x$

Для удобства умножим обе части тождества на $8 \sin 3x$:

$$8 \cdot \sin 3x \cdot \cos 3x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x = \sin 24x$$

Шаг 2: Упростим выражение

Теперь упростим выражение на левой части:

$$8 \sin 3x \cdot \cos 3x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x = 4 \sin 6x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x$$

Заменим $\sin 6x \cdot \cos 6x$ на $\frac{1}{2} \sin 12x$:

$$4 \cdot \frac{1}{2} \sin 12x \cdot \cos 12x = \sin 24x$$ $$2 \sin 12x \cdot \cos 12x = \sin 24x$$

Шаг 3: Используем тождество для синуса

Применим тождество для синуса:

$$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$$

Подставляем $A = 12x$:

$$\sin 24x = \sin 24x$$

Тождество доказано.

Таким образом, оба тождества доказаны:

1. $4 \sin x \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \sin 3x$
2. $\cos 3x \cdot \cos 6x \cdot \cos 12x = \frac{\sin 24x}{8 \sin 3x}$