ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 439 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. sinx=-1;
2. cosx=-1;
3. sin3x=0;
4. cos0,5x=0;
5. sin((x+2) + (2 пи/3)) = 1;
6. cos (5x + (4 пи/5)) =1.

1. $\sin x = -1$;
   Искомая точка на окружности:
   $(0; -1)$;
   Значит $x$ принимает значение:
   $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$;
   Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
2. $\cos x = -1$;
   Искомая точка на окружности:
   $(-1; 0)$;
   Значит $x$ принимает значение:
   $x = \pi + 2\pi k$;
   Ответ: $x = \pi + 2\pi k$.
3. $\sin 3x = 0$;
   Искомые точки на окружности:
   $(1; 0)$ и $(-1; 0)$;
   Значит $x$ принимает значения:
   $3x_1 = 0 + 2\pi k$ и $3x_2 = \pi + 2\pi k$;
   $3x = \pi k$, отсюда $x = \frac{\pi k}{3}$;
   Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}$.
4. $\cos 0.5x = 0$;
   Искомые точки на окружности:
   $(0; 1)$ и $(0; -1)$;
   Значит $x$ принимает значения:
   $0.5x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и $0.5x_2 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$;
   $0.5x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, отсюда $x = \pi + 2\pi k$;
   Ответ: $x = \pi + 2\pi k$.
5. $\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{2\pi}{3} \right) = 1$;
   Искомая точка на окружности:
   $(0; 1)$;
   Значит $x$ принимает значение:
   $\frac{x}{2} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$;
   $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} — \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$;
   $\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, отсюда $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi k$;
   Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi k$.
6. $\cos \left( 5x + \frac{4\pi}{5} \right) = 1$;
   Искомая точка на окружности:
   $(1; 0)$;
   Значит $x$ принимает значение:
   $5x + \frac{4\pi}{5} = 0 + 2\pi k$;
   $5x = -\frac{4\pi}{5} + 2\pi k$, отсюда $x = -\frac{4\pi}{25} + \frac{2\pi k}{5}$;
   Ответ: $x = -\frac{4\pi}{25} + \frac{2\pi k}{5}$.

1) $\sin x = -1$

Шаг 1: Вспомним, что $\sin x = y$-координата точки на единичной окружности, где $x$ — угол.

Шаг 2: При $\sin x = -1$ точка на единичной окружности — это самая нижняя точка:

$$(0; -1)$$

Шаг 3: Определим угол $x$, соответствующий этой точке. На единичной окружности $\sin x = -1$ при

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

(здесь $2\pi k$ — добавляем полный оборот по окружности, так как синус периодичен с периодом $2\pi$).

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$$

2) $\cos x = -1$

Шаг 1: Косинус — это $x$-координата точки на единичной окружности.

Шаг 2: При $\cos x = -1$ точка — самая левая точка окружности:

$$(-1; 0)$$

Шаг 3: Угол $x$, где косинус равен $-1$, равен:

$$x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = \pi + 2\pi k$$

3) $\sin 3x = 0$

Шаг 1: Сначала рассмотрим уравнение $\sin \theta = 0$.

Синус равен нулю в точках:

$$\theta = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 2: Здесь $\theta = 3x$, значит:

$$3x = \pi k$$

Шаг 3: Найдем $x$:

$$x = \frac{\pi k}{3}$$

Шаг 4: Объяснение по точкам на окружности:
Точки, где $\sin 3x = 0$, это когда точка лежит на оси $Ox$, т.е.

$$(1;0) \quad \text{или} \quad (-1;0)$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi k}{3}$$

4) $\cos 0.5x = 0$

Шаг 1: Косинус равен нулю в точках:

$$\cos \alpha = 0 \implies \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 2: Подставим $\alpha = 0.5x = \frac{x}{2}$:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$$

Шаг 3: Найдем $x$:

$$x = \pi + 2\pi k$$

Шаг 4: Искомые точки на окружности для косинуса равного нулю — это точки, где $x$-координата равна 0, а $y$ — либо $1$, либо $-1$:

$$(0;1), \quad (0;-1)$$

Ответ:

$$x = \pi + 2\pi k$$

5) $\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{2\pi}{3} \right) = 1$

Шаг 1: Синус равен 1 в точке:

$$\sin \beta = 1 \implies \beta = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 2: Подставим $\beta = \frac{x}{2} + \frac{2\pi}{3}$:

$$\frac{x}{2} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$$

Шаг 3: Выразим $x$:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} — \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$$

Приведём дроби к общему знаменателю 6:

$$\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}, \quad \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}$$

Разность:

$$\frac{3\pi}{6} — \frac{4\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$$

Шаг 4: Получаем:

$$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$$

Умножим на 2:

$$x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi k$$

Искомая точка на окружности для $\sin = 1$ — это верхняя точка:

$$(0; 1)$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi k$$

6) $\cos \left( 5x + \frac{4\pi}{5} \right) = 1$

Шаг 1: Косинус равен 1 в точке:

$$\cos \gamma = 1 \implies \gamma = 0 + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 2: Подставим:

$$5x + \frac{4\pi}{5} = 2\pi k$$

Шаг 3: Выразим $x$:

$$5x = 2\pi k — \frac{4\pi}{5}$$ $$x = \frac{2\pi k}{5} — \frac{4\pi}{25}$$

Искомая точка на окружности для $\cos = 1$ — это правая точка:

$$(1;0)$$

Ответ:

$$x = -\frac{4\pi}{25} + \frac{2\pi k}{5}$$