ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1566 Алимов — Подробные Ответы

log2 (4 cos x + 3) log6 (4 cos x + 3) = log2 (4 cos x + 3) + + log6 (4 cos x + 3).

Решить уравнение:

$$\log_{2}(4 \cos x + 3) \cdot \log_{6}(4 \cos x + 3) = \log_{2}(4 \cos x + 3) + \log_{6}(4 \cos x + 3);$$

Пусть $y = 4 \cos x + 3$, тогда:

$$\log_{2} y \cdot \log_{6} y = \log_{2} y + \log_{6} y;$$ $$\log_{2} y \cdot \log_{6} y — \log_{2} y — \log_{6} y = 0;$$ $$\log_{2} y \cdot (\log_{6} y — 1) — \log_{6} y = 0;$$ $$\log_{2} y \cdot (\log_{6} y — \log_{6} 6) — \log_{6} y = 0;$$ $$\frac{\log_{6} y}{\log_{6} 2} \cdot \log_{6} \frac{y}{6} — \log_{6} y = 0;$$ $$\log_{6} y \cdot \log_{6} \frac{y}{6} — \log_{6} 2 \cdot \log_{6} y = 0;$$ $$\log_{6} y \cdot \left( \log_{6} \frac{y}{6} — \log_{6} 2 \right) = 0;$$ $$\log_{6} y \cdot \log_{6} \frac{y}{12} = 0;$$

Первое уравнение:

$$\log_{6} y = 0;$$ $$y = 1;$$ $$4 \cos x + 3 = 1;$$ $$4 \cos x = -2;$$ $$\cos x = -\frac{1}{2};$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2 \pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2 \pi n = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\log_{6} \frac{y}{12} = 0;$$ $$\frac{y}{12} = 1;$$ $$y = 12;$$ $$4 \cos x + 3 = 12;$$ $$4 \cos x = 9;$$ $$\cos x = \frac{9}{4} \quad \text{(корней нет)};$$

Ответ: $\boxed{\pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n}$.

Решить уравнение:

$$\log_{2}(4 \cos x + 3) \cdot \log_{6}(4 \cos x + 3) = \log_{2}(4 \cos x + 3) + \log_{6}(4 \cos x + 3)$$

Шаг 1: Подстановка

Для начала, чтобы упростить выражение, введем подстановку. Пусть:

$$y = 4 \cos x + 3$$

Тогда уравнение примет вид:

$$\log_{2} y \cdot \log_{6} y = \log_{2} y + \log_{6} y$$

Шаг 2: Перенос всех членов в одну сторону

Переносим все члены на одну сторону:

$$\log_{2} y \cdot \log_{6} y — \log_{2} y — \log_{6} y = 0$$

Для удобства дальше будем работать с этим уравнением.

Шаг 3: Группировка членов

Перепишем уравнение так, чтобы выделить общий множитель:

$$\log_{2} y \cdot (\log_{6} y — 1) — \log_{6} y = 0$$

Дальше продолжим работать с этим уравнением.

Шаг 4: Разложение логарифмов

Используем преобразование для логарифмов: $\log_{6} y = \frac{\log_{2} y}{\log_{2} 6}$. Подставим это в уравнение:

$$\log_{2} y \cdot \left( \frac{\log_{2} y}{\log_{2} 6} — 1 \right) — \frac{\log_{2} y}{\log_{2} 6} = 0$$

Теперь нужно упростить это уравнение.

Шаг 5: Умножение и упрощение

Раскроем скобки и упростим:

$$\log_{2} y \cdot \frac{\log_{2} y}{\log_{2} 6} — \log_{2} y — \frac{\log_{2} y}{\log_{2} 6} = 0$$

Здесь видим, что у нас есть общий множитель $\log_{2} y$, который можно вынести:

$$\log_{2} y \left( \frac{\log_{2} y}{\log_{2} 6} — 1 — \frac{1}{\log_{2} 6} \right) = 0$$

Шаг 6: Разрешение уравнения

Теперь у нас два случая:

Первый случай: $\log_{2} y = 0$

Это означает, что $y = 1$. Подставляем это значение обратно в подстановку $y = 4 \cos x + 3$:

$$4 \cos x + 3 = 1$$ $$4 \cos x = -2$$ $$\cos x = -\frac{1}{2}$$

Тогда, решая для $x$, получаем:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2 \pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2 \pi n = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n$$

Второй случай:

У нас есть логарифмическое выражение, которое нужно решить на следующем шаге:

$$\frac{\log_{2} y}{\log_{2} 6} — 1 — \frac{1}{\log_{2} 6} = 0$$

Преобразуем это уравнение и находим:

$$\frac{\log_{2} y}{\log_{2} 6} = \log_{2} 6$$

Однако при решении этого уравнения обнаруживаем, что не существует других решений, поскольку в данном случае получаем несоответствие значений, приводящее к невозможности разрешить уравнение.

Шаг 7: Условия для логарифмов

Наконец, выражение имеет смысл только при условиях:

$$\sin 4x \neq 0$$ $$4x \neq \arcsin 0 + \pi n \neq \pi n$$ $$x \neq \frac{\pi n}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{\pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n}$$