ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1316 Алимов — Подробные Ответы

(1 + cos a) tg a/2 = sin a.

Доказать тождество:

$$(1 + \cos a) \cdot \operatorname{tg} \frac{a}{2} = \sin a;$$ $$2 \cos^2 \frac{a}{2} \cdot \frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}} = \sin a;$$ $$2 \sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2} = \sin a;$$ $$\sin a = \sin a;$$

Тождество доказано.

Тождество:

$$(1 + \cos a) \cdot \operatorname{tg} \frac{a}{2} = \sin a$$

Шаг 1: Разложение тангенса через синус и косинус

Напоминаем, что $\operatorname{tg} \frac{a}{2} = \frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}}$. Подставим это выражение в исходное тождество:

$$(1 + \cos a) \cdot \frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}} = \sin a.$$

Шаг 2: Преобразуем $\cos a$

Чтобы продолжить решение, нужно выразить $\cos a$ через тригонометрические функции угла $\frac{a}{2}$. Используем известную формулу удвоенного угла для косинуса:

$$\cos a = 2 \cos^2 \frac{a}{2} — 1.$$

Подставим это выражение в наше уравнение:

$$(1 + (2 \cos^2 \frac{a}{2} — 1)) \cdot \frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}} = \sin a.$$

Упростим выражение в скобках:

$$(1 + 2 \cos^2 \frac{a}{2} — 1) = 2 \cos^2 \frac{a}{2}.$$

Теперь у нас получается:

$$2 \cos^2 \frac{a}{2} \cdot \frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}} = \sin a.$$

Шаг 3: Упрощаем выражение

Теперь упростим левую часть. В числителе у нас $2 \cos^2 \frac{a}{2} \cdot \sin \frac{a}{2}$, а в знаменателе $\cos \frac{a}{2}$. Можно сократить одну степень $\cos \frac{a}{2}$:

$$2 \cos \frac{a}{2} \cdot \sin \frac{a}{2} = \sin a.$$

Шаг 4: Используем тождество для синуса удвоенного угла

Заметим, что выражение $2 \sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2}$ является стандартной формулой для синуса удвоенного угла:

$$2 \sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2} = \sin a.$$

Таким образом, мы получаем:

$$\sin a = \sin a.$$

Тождество доказано.