ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 26 Алимов — Подробные Ответы

В угол, равный 60°, последовательно вписаны окружности касающиеся друг друга (рис. 5, б). Радиус первой окружности равен R1 Найти радиусы R2, R3, …, Rn, … остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма R1 + 2 (R2 + R3 + … + Rn + …) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.

Известно, что в угол равный 60°, последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга. Радиус первой окружности равен $R_1$.

Найдем радиусы $R_2,R_3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},R_n,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$ остальных окружностей и покажем, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Докажем, что сумма $R_1+2(R_2+R_3+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+R_n+\cdots )$ равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.

Решение

Расстояние от точки касания первой окружности со второй есть сумма бесконечно убывающей прогрессии диаметров окружностей с радиусами $R_2,R_3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},R_n,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$, то есть $2(R_2+R_2+\cdots +R_2+\cdots )$, а, значит, расстояние от центра первой окружности до вершины угла равно:

$$R_1+2(R_2+R_2+\cdots +R_2+\cdots )\mathrm{.}$$

Расстояние от вершины угла до центра первой окружности равно:

$$R_1\cdot \sin 30\mathrm{°}=R_1\cdot \frac{1}{2}=2R_1\mathrm{.}$$

Расстояние от вершины угла до центра второй окружности равно

$$2R_1-R_2-R_1=R_1-R_2\mathrm{.}$$

Из подобия треугольника следует:

$$\frac{R_1}{R_2}=\frac{2R_1}{R_1-R_2}\mathrm{.}$$

Откуда

$$2R_1^2-R_1{R}_2=2R_1{R}_2\mathrm{.}$$

$$R_2=\frac{R_1}{3}\mathrm{.}$$

Аналогично

$$R_3=\frac{R_2}{3}=\frac{R_1}{9}\mathrm{.}$$

Тогда

$$R_n=\frac{R_1}{3^{n-1}}\mathrm{.}$$

Что и требовалось доказать.

Условие

В угол, равный ${60}^{\circ }$, последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга. Радиус первой окружности равен $R_1$. Требуется:

1. Найти радиусы
   $R_2,R_3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},R_n,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{. }$$\mathrm{последующих\; окружностей.}$
2. Доказать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.
3. Доказать, что сумма $R_1+2(R_2+R_3+\cdots +R_n+\dots )$ равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.

Шаг 1: Анализ расположения окружностей

Рассмотрим две соседние окружности с центрами $O_n$ и $O_{n+1}$:

• Радиусы этих окружностей равны $R_n$${}_{}$ и $R_{n+1}$.
• Окружности касаются друг друга, а также сторон угла.
• Центры окружностей лежат на биссектрисе угла.

На рисунке изображено расположение окружностей:

Шаг 2: Выражение радиусов через геометрическую прогрессию

Рассмотрим первое расстояние между центрами окружностей. Пусть первая окружность касается сторон угла в точках $A_1$ и $A_2$, а вторая в точках $A_2$ и $A_3$.

Рассчитаем расстояние от вершины угла до центра первой окружности:

$$d_1=R_1\cdot \frac{1}{\sin {30}^{\circ }}=2R_1\mathrm{.}$$

Теперь вычислим расстояние до центра второй окружности:

$$d_2=d_1-(R_1+R_2)\mathrm{.}$$

Из подобия треугольников:

$$\frac{R_1}{R_2}=\frac{2R_1}{R_1-R_2}\mathrm{.}$$

Решая это уравнение, получаем:

$$R_2=\frac{R_1}{3}\mathrm{.}$$

Аналогично, для следующих окружностей:

$$R_3=\frac{R_2}{3}=\frac{R_1}{9}\mathrm{.}$$

Обобщая, получаем формулу для радиуса $n$-й окружности:

$$R_n=\frac{R_1}{3^{n-1}}\mathrm{.}$$

Таким образом, радиусы образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом$R_1$ и знаменателем $q=\frac{1}{3}$.

Шаг 3: Вычисление суммы бесконечного ряда

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:

$$S=\frac{a}{1-q}\mathrm{.}$$

Для суммирования радиусов окружностей:

$$S_R=R_2+R_3+R_4+\cdots =\frac{R_1\mathrm{/}3}{1-1\mathrm{/}3}=\frac{R_1\mathrm{/}3}{2\mathrm{/}3}=\frac{R_1}{2}\mathrm{.}$$

Подставляя в выражение:

$$R_1+2S_R=R_1+2\cdot \frac{R_1}{2}=R_1+R_1=2R_1\mathrm{.}$$

А это именно расстояние от центра первой окружности до вершины угла.

Вывод

1. Радиусы окружностей образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом
   $R_1$ и знаменателем $\frac{1}{3}$.
2. Сумма $R_1+2(R_2+R_3+\cdots +R_n+\dots )$ действительно равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.
3. Задача полностью решена и доказана.