ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1498 Алимов — Подробные Ответы

Написать уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х0:

1. f (х) = х ln 2х, х0 = 0,5;
2. f(x)= 2^-х, х0=1.

Уравнение касательной в точке $a$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

1) $f(x) = x \cdot \ln 2x$ и $x_0 = 0.5$;

$$f'(x) = (x)’ \cdot \ln 2x + x \cdot (\ln 2x)’ = 1 \cdot \ln 2x + x \cdot \frac{2}{2x} = \ln 2x + 1;$$ $$f'(0.5) = \ln(2 \cdot 0.5) + 1 = \ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1;$$ $$f(0.5) = 0.5 \cdot \ln(2 \cdot 0.5) = 0.5 \cdot \ln 1 = 0.5 \cdot 0 = 0;$$ $$y = 0 + 1(x — 0.5) = x — 0.5;$$

Ответ: $y = x — 0.5$.

2) $f(x) = 2^{-x}$ и $x_0 = 1$;

Пусть $u = -x$, тогда $f(u) = 2^u$;

$$f'(x) = (-x)’ \cdot (2^u)’ = -1 \cdot 2^u \cdot \ln 2 = -2^{-x} \cdot \ln 2;$$ $$f'(1) = -2^{-1} \cdot \ln 2 = -\frac{1}{2} \ln 2;$$ $$f(1) = 2^{-1} = \frac{1}{2};$$ $$y = \frac{1}{2} — \frac{1}{2} \ln 2 (x — 1) = \frac{1}{2} — \frac{1}{2} x \ln 2 + \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{1}{2}(1 + \ln 2 — x \ln 2);$$

Ответ: $y = \frac{1}{2}(1 + \ln 2 — x \ln 2)$.

Общая формула касательной

Касательная к графику функции $f(x)$ в точке $x = a$ задаётся формулой:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

где:

• $f(a)$ — значение функции в точке $a$,
• $f'(a)$ — производная функции в точке $a$,
• $(x — a)$ — смещение по оси $x$ от точки касания.

Задача 1

Дано:

• $f(x) = x \cdot \ln(2x)$
• $x_0 = 0.5$

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция — произведение:

$$f(x) = x \cdot \ln(2x)$$

Применим правило производной произведения:

$$f'(x) = (x)’ \cdot \ln(2x) + x \cdot (\ln(2x))’$$

Найдём каждую часть:

• $(x)’ = 1$
• $(\ln(2x))’ = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$

Подставим:

$$f'(x) = 1 \cdot \ln(2x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(2x) + 1$$

Шаг 2: Вычислим $f'(0.5)$

$$f'(0.5) = \ln(2 \cdot 0.5) + 1 = \ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1$$

Шаг 3: Вычислим $f(0.5)$

$$f(0.5) = 0.5 \cdot \ln(2 \cdot 0.5) = 0.5 \cdot \ln(1) = 0.5 \cdot 0 = 0$$

Шаг 4: Подставим в уравнение касательной

$$y = f(0.5) + f'(0.5)(x — 0.5) = 0 + 1 \cdot (x — 0.5) = x — 0.5$$

Ответ 1:

$$\boxed{y = x — 0.5}$$

Задача 2

Дано:

• $f(x) = 2^{-x}$
• $x_0 = 1$

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция:

$$f(x) = 2^{-x}$$

Вспомним:

$$\frac{d}{dx} (a^x) = a^x \ln a$$

Следовательно:

$$\frac{d}{dx} (2^{-x}) = \frac{d}{dx} (2^u), \text{ где } u = -x$$ $$\frac{d}{dx}(2^u) = 2^u \cdot \ln 2 \cdot u’ = 2^{-x} \cdot \ln 2 \cdot (-1) = -2^{-x} \cdot \ln 2$$

Итак:

$$f'(x) = -2^{-x} \cdot \ln 2$$

Шаг 2: Вычислим $f(1)$ и $f'(1)$

$$f(1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$ $$f'(1) = -2^{-1} \cdot \ln 2 = -\frac{1}{2} \cdot \ln 2$$

Шаг 3: Подставим в формулу касательной

$$y = f(1) + f'(1)(x — 1)$$ $$y = \frac{1}{2} — \frac{1}{2} \ln 2 (x — 1)$$

Раскроем скобки:

$$y = \frac{1}{2} — \frac{1}{2}x \ln 2 + \frac{1}{2} \ln 2$$

Сгруппируем:

$$y = \frac{1}{2}(1 + \ln 2 — x \ln 2)$$

Ответ 2:

$$\boxed{y = \frac{1}{2}(1 + \ln 2 — x \ln 2)}$$

$$\boxed{y = \frac{1}{2}(1 + \ln 2 — x \ln 2)}$$