ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 25 Алимов — Подробные Ответы

На куб со стороной а поставили куб со стороной a/2, на него куб со стороной a/4, затем куб со стороной a/8 и т. д. (рис. 5,а). Найти высоту получившейся фигуры.

На куб со стороной a поставили куб со стороной a/2, на него куб со стороной a/4 и так далее;

Последовательность длин сторон всех кубов составляет бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, в которой:

b₁ = a и b₂ = a/2;

q = b₂/b₁ = a/2 : a = 1/2;

Высота полученной фигуры (сумма сторон всех кубов):

h = S = b₁ / (1 — q) = a / (1 — 1/2) = a : 1/2 = 2a;

Ответ: 2a.

Шаг 1: Определение последовательности длин сторон кубов

Каждый новый куб ставится на предыдущий, и его сторона в два раза меньше стороны предыдущего куба. То есть:

• Первый куб имеет сторону a.
• Второй куб имеет сторону a/2.
• Третий куб имеет сторону a/4.
• Четвёртый куб имеет сторону a/8.
• Пятый куб имеет сторону a/16 и так далее.

Очевидно, что последовательность длин сторон всех кубов представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом:

$$b_1 = a$$

и знаменателем (отношением последовательных членов):

$$q = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$$Шаг 2: Определение высоты конструкции

Так как кубы ставятся друг на друга, высота всей конструкции представляет собой сумму высот всех кубов, то есть сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, состоящей из длин сторон этих кубов.

Формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}$$

где:

• $b_1 = a$ — первый член прогрессии,
• $q = \frac{1}{2}$ — знаменатель прогрессии.

Шаг 3: Подставляем значения в формулу

$$S = \frac{a}{1 — \frac{1}{2}}$$

$$S = \frac{a}{\frac{1}{2}}$$

$$S = a \cdot 2 = 2a$$

Вывод

Высота полученной фигуры, образованной бесконечной последовательностью кубов, равна:

$$\mathbf{2a}$$

Ответ: $2a$