ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 528 Алимов — Подробные Ответы

1.

$$\frac{\sin \left( \frac{3\pi}{2} + a \right) \cdot \tg \left( \frac{\pi}{2} + a \right)}{\ctg (2\pi — a) \cdot \sin (\pi + a)} = \frac{-\cos a \cdot (-\ctg a)}{\ctg(-a) \cdot (-\sin a)} = \frac{-\cos a \cdot (-\ctg a)}{-\ctg a \cdot (-\sin a)} =$$ $$= \frac{\cos a}{\sin a} = \ctg a;$$

2.

$$\frac{\sin^2 (\pi + a) + \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} + a \right)}{\cos \left( \frac{3\pi}{2} + a \right)} \cdot \ctg \left( \frac{3\pi}{2} — a \right) =$$ $$= \frac{(-\sin a)^2 + \cos^2 a}{\sin a} \cdot \ctg \left( \pi + \frac{\pi}{2} — a \right) = \frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin a} \cdot \ctg \left( \frac{\pi}{2} — a \right) =$$ $$= \frac{1}{\sin a} \cdot \tg a = \frac{1}{\sin a} \cdot \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{1}{\cos a};$$

1)

$$\frac{\sin \left( \frac{3\pi}{2} + a \right) \cdot \tg \left( \frac{\pi}{2} + a \right)}{\ctg (2\pi — a) \cdot \sin (\pi + a)}$$

Шаг 1. Преобразуем каждую функцию с помощью формул приведения:

• $\sin \left( \frac{3\pi}{2} + a \right)$

Используем:

$$\sin \left( \frac{3\pi}{2} + a \right) = -\cos a$$

(так как $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$, а $\sin(3\pi/2) = -1$, $\cos(3\pi/2) = 0$)

• $\tg \left( \frac{\pi}{2} + a \right)$

Формула:

$$\tg \left( \frac{\pi}{2} + a \right) = -\ctg a$$

• $\ctg (2\pi — a)$

Формула:

$$\ctg (2\pi — a) = \ctg (-a) = -\ctg a$$

• $\sin (\pi + a)$

Формула:

$$\sin (\pi + a) = -\sin a$$

Шаг 2. Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$$\frac{-\cos a \cdot (-\ctg a)}{-\ctg a \cdot (-\sin a)}$$

Шаг 3. Упростим числитель и знаменатель:

Числитель:

$$(-\cos a)(-\ctg a) = \cos a \cdot \ctg a$$

Знаменатель:

$$(-\ctg a)(-\sin a) = \ctg a \cdot \sin a$$

Шаг 4. Сократим одинаковые множители:

$$\frac{\cos a \cdot \ctg a}{\ctg a \cdot \sin a} = \frac{\cos a}{\sin a} = \ctg a$$

Ответ:

$$\boxed{\ctg a}$$

2)

$$\frac{\sin^2 (\pi + a) + \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} + a \right)}{\cos \left( \frac{3\pi}{2} + a \right)} \cdot \ctg \left( \frac{3\pi}{2} — a \right)$$

Шаг 1. Разберём числитель:

• $\sin(\pi + a)$

Формула:

$$\sin(\pi + a) = -\sin a \quad \Rightarrow \quad \sin^2(\pi + a) = (-\sin a)^2 = \sin^2 a$$

• $\sin \left( \frac{\pi}{2} + a \right)$

Формула:

$$\sin (\frac{\pi }{2}+a)=\cos a\Rightarrow {\sin }^2(\frac{\pi }{2}+a)={\cos }^{2}a$$

Шаг 2. Посчитаем числитель:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \quad \text{(по основному тригонометрическому тождеству)}$$

Шаг 3. Разберём знаменатель:

• $\cos \left( \frac{3\pi}{2} + a \right)$

Формула:

$$\cos \left( \frac{3\pi}{2} + a \right) = \sin a$$

• $\ctg \left( \frac{3\pi}{2} — a \right)$

Преобразуем:

$$\frac{3\pi}{2} — a = \pi + \frac{\pi}{2} — a \Rightarrow \ctg \left( \pi + \frac{\pi}{2} — a \right) = \ctg \left( \frac{\pi}{2} — a \right) \quad \text{(так как } \ctg(\pi + x) = \ctg x\text{)}$$

Формула:

$$\ctg \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = \tg a$$

Шаг 4. Подставим всё в исходное выражение:

$$\frac{1}{\sin a} \cdot \tg a$$

Шаг 5. Разложим $\tg a$:

$$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a}$$

Тогда:

$$\frac{1}{\sin a} \cdot \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{1}{\cos a}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{\cos a}}$$