ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1580 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции (1580—1583).

1. $y=\frac{\sqrt{x^2}}{x}=\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}$
2. $y=\frac{2}{1-2x}$
3. $y=\frac{3x+2}{2x-3}$
4. $y=\frac{2x}{2-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$

1) $y = \frac{\sqrt{x^2}}{x} = \frac{|x|}{x}$

Область определения функции:

$$x \neq 0;$$ $$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty);$$

Если $x < 0$, тогда:

$$y = \frac{-x}{x} = -1;$$

Если $x > 0$, тогда:

$$y = \frac{x}{x} = 1;$$

График функции:

2) $y = \frac{2}{1 — 2x}$

Область определения функции:

$$1 — 2x \neq 0;$$ $$2x \neq 1, \text{ отсюда } x \neq 0.5;$$ $$D(x) = (-\infty; 0.5) \cup (0.5; +\infty);$$

Производная функции:

$$f'(x) = 2 \cdot (1 — 2x)^{-1};$$ $$f'(x) = 2 \cdot (-1) \cdot (-2) \cdot (1 — 2x)^{-2} = \frac{4}{(1 — 2x)^2} > 0;$$

Функция возрастает на всей области определения;

Предел функции:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{1 — 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{x} — 2} = \frac{0}{0 — 2} = 0;$$

Область значений функции:

$$E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty);$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 0 & 2 \\ 1 & -2 \\ \end{array}$$

График функции:

3) $y = \frac{3x + 2}{2x — 3}$

Область определения функции:

$$2x — 3 \neq 0;$$ $$2x = 3, \text{ отсюда } x = 1.5;$$ $$D(x) = (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty);$$

Производная функции:

$$f'(x) = \frac{(3x + 2)’ \cdot (2x — 3) — (3x + 2) \cdot (2x — 3)’}{(2x — 3)^2};$$ $$f'(x) = \frac{3(2x — 3) — 2(3x + 2)}{(2x — 3)^2};$$ $$f'(x) = \frac{6x — 9 — 6x — 4}{(2x — 3)^2} = \frac{-13}{(2x — 3)^2} < 0;$$

Функция убывает на всей области определения;

Предел функции:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 2}{2x — 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{2 — \frac{3}{x}} = \frac{3 + 0}{2 — 0} = 1.5;$$

Область значений функции:

$$E(y) = (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty);$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline -5 & 1 \\ 1 & -5 \\ 2 & 8 \\ 8 & 2 \\ \end{array}$$

График функции:

4) $y = \frac{2x}{2 — |x|}$

Функция нечетная:

$$y(-x) = \frac{2 \cdot (-x)}{2 — |-x|} = -\frac{2x}{2 — |x|} = -y(x);$$

Область определения функции:

$$2 — |x| \neq 0;$$ $$|x| \neq 2, \text{ отсюда } x \neq \pm 2;$$ $$D(x) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty);$$

Если $x > 0$, тогда:

$$y = \frac{2x}{2 — x};$$

Производная функции:

$$f'(x) = \frac{(2x)’ \cdot (2 — x) — 2x \cdot (2 — x)’}{(2 — x)^2};$$ $$f'(x) = \frac{2(2 — x) + 2x}{(2 — x)^2} = \frac{4 — 2x + 2x}{(2 — x)^2} = \frac{4}{(2 — x)^2} > 0;$$

Функция возрастает на всей области определения;

Предел функции:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{2 — x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\frac{2}{x} — 1} = \frac{2}{0 — 1} = -2;$$

Область значений функции:

$$E(y) = (-\infty; +\infty);$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & 2 \\ 3 & -6 \\ 4 & -4 \\ 6 & -3 \\ \end{array}$$

График функции:

1) $y = \frac{\sqrt{x^2}}{x} = \frac{|x|}{x}$

Область определения функции:

Для того чтобы функция была определена, знаменатель $x$ не должен равняться нулю:

$$x \neq 0$$

Следовательно, область определения функции:

$$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

Анализ функции на различных интервалах:

1. Если $x < 0$:

   Тогда $|x| = -x$, так как модуль числа $x$ для отрицательных $x$ равен его противоположному значению. Подставляем это в выражение функции:

   $$y = \frac{-x}{x} = -1$$

   Таким образом, для $x < 0$ функция принимает значение $y = -1$.

2. Если $x > 0$:

   В этом случае $|x| = x$, так как для положительных $x$ модуль равен самому числу. Тогда:

   $$y = \frac{x}{x} = 1$$

   Таким образом, для $x > 0$ функция принимает значение $y = 1$.

График функции:

2) $y = \frac{2}{1 — 2x}$

Область определения функции:

Для того чтобы функция была определена, знаменатель $1 — 2x$ не должен равняться нулю:

$$1 — 2x \neq 0$$ $$2x \neq 1$$ $$x \neq \frac{1}{2}$$

Следовательно, область определения функции:

$$D(x) = (-\infty; 0.5) \cup (0.5; +\infty)$$

Производная функции:

Теперь найдем производную функции с использованием правила дифференцирования дробей (правило частного). Для функции $y = \frac{2}{1 — 2x}$ числитель является константой (2), а знаменатель — $1 — 2x$:

$$f'(x) = 2 \cdot \left(1 — 2x\right)^{-1}$$

Применяем правило дифференцирования для дробей, получаем:

$$f'(x) = \frac{4}{(1 — 2x)^2}$$

Так как квадрат всегда положителен, производная $f'(x) > 0$ на всей области определения функции. Это означает, что функция возрастает.

Предел функции:

Теперь найдем предел функции при $x \to \infty$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{1 — 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{x} — 2} = \frac{0}{0 — 2} = 0$$

Область значений функции:

Так как производная положительна и функция монотонно возрастает на всей области определения, область значений функции будет:

$$E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

Координаты некоторых точек:

Подставим значения для $x = 0$ и $x = 1$:

$$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 0 & 2 \\ 1 & -2 \\ \end{array}$$

График функции:

3) $y = \frac{3x + 2}{2x — 3}$

Область определения функции:

Знаменатель $2x — 3$ не должен равняться нулю:

$$2x — 3 \neq 0$$ $$x \neq \frac{3}{2}$$

Следовательно, область определения функции:

$$D(x) = (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$$

Производная функции:

Для нахождения производной используем правило дифференцирования дроби:

$$f'(x) = \frac{(3x + 2)'(2x — 3) — (3x + 2)(2x — 3)’}{(2x — 3)^2}$$ $$f'(x) = \frac{3(2x — 3) — 2(3x + 2)}{(2x — 3)^2}$$ $$f'(x) = \frac{6x — 9 — 6x — 4}{(2x — 3)^2} = \frac{-13}{(2x — 3)^2} < 0$$

Производная отрицательна, следовательно, функция убывает на всей области определения.

Предел функции:

Находим предел функции при $x \to \infty$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 2}{2x — 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{2 — \frac{3}{x}} = \frac{3}{2} = 1.5$$

Область значений функции:

Поскольку функция убывает, а её предел при $x \to \infty$ равен $1.5$, то область значений будет:

$$E(y) = (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$$

Координаты некоторых точек:

Подставим значения для $x = -5$, $x = 1$, и других:

$$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline -5 & 1 \\ 1 & -5 \\ 2 & 8 \\ 8 & 2 \\ \end{array}$$

График функции:

4) $y = \frac{2x}{2 — |x|}$

Функция нечетная:

Проверим, что функция нечетная:

$$y(-x) = \frac{2 \cdot (-x)}{2 — |-x|} = -\frac{2x}{2 — |x|} = -y(x)$$

Область определения функции:

Знаменатель $2 — |x|$ не должен быть равен нулю:

$$2 — |x| \neq 0$$ $$|x| \neq 2, \text{ отсюда } x \neq \pm 2;$$

Следовательно, область определения функции:

$$D(x) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$$

Если $x > 0$, тогда:

Когда $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид:

$$y = \frac{2x}{2 — x}$$

Производная функции:

Для $x > 0$ применим правило дифференцирования дроби:

$$f'(x) = \frac{(2x)'(2 — x) — 2x(2 — x)’}{(2 — x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2(2 — x) + 2x}{(2 — x)^2} = \frac{4 — 2x + 2x}{(2 — x)^2} = \frac{4}{(2 — x)^2} > 0$$

Производная положительна, следовательно, функция возрастает на всей области определения.

Предел функции:

Находим предел функции при $x \to \infty$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{2 — x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\frac{2}{x} — 1} = \frac{2}{0 — 1} = -2;$$

Область значений функции:

Поскольку функция монотонно возрастает, её область значений будет:

$$E(y) = (-\infty; +\infty)$$

Координаты некоторых точек:

Подставим значения для $x = 0, 1, 3, 4, 6$:

$$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & 2 \\ 3 & -6 \\ 4 & -4 \\ 6 & -3 \\ \end{array}$$

График функции: