ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1294 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что если а + b + у = пи, то:

1. sin а + sin b — sin у = 4 sin a/2sinb/2 cosy/2.
2. sin 2а + sin 2b + sin 2y = 4 sin a sin 3 sin y.

Доказать, что если $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то верно равенство:

$\sin \alpha + \sin \beta — \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$;

Из условия следует, что:
$\gamma = \pi — (\alpha + \beta);$
$\alpha + \beta = \pi — \gamma;$

Преобразуем правую часть равенства:
$4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) =$
$= 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cdot \left( \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \right) =$
$= 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} + 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin^2 \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha}{2} =$
$= 2 \sin \beta \cdot \frac{1 — \cos \alpha}{2} + 2 \sin \alpha \cdot \frac{1 — \cos \beta}{2} =$
$= \sin \beta \cdot (1 — \cos \alpha) + \sin \alpha \cdot (1 — \cos \beta) =$
$= \sin \beta — \sin \beta \cos \alpha + \sin \alpha — \sin \alpha \cos \beta = \sin \alpha + \sin \beta — \sin (\alpha + \beta) =$
$\sin \alpha + \sin \beta — \sin (\pi — \gamma) = \sin \alpha + \sin \beta — \sin \gamma;$

Тождество доказано.

$\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$;

Из условия следует, что:
$\alpha + \beta = \pi — \gamma;$
$\alpha + \gamma = \pi — \beta;$
$\beta + \gamma = \pi — \alpha;$

Преобразуем левую часть равенства:
$\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 2 \cdot \sin \frac{2\alpha + 2\beta}{2} \cdot \cos \frac{2\alpha — 2\beta}{2} + \sin 2\gamma =$
$= 2 \sin (\alpha + \beta) \cdot \cos (\alpha — \beta) + \sin 2\gamma =$
$= 2 \sin (\pi — \gamma) \cdot \cos (\alpha — \beta) + 2 \sin \gamma \cdot \cos \gamma =$
$= 2 \sin \gamma \cdot (\cos (\alpha — \beta) + \cos \gamma) =$
$= 2 \sin \gamma \cdot 2 \cos \frac{\alpha — \beta + \gamma}{2} \cdot \cos \frac{\alpha — \beta — \gamma}{2} =$
$= 4 \sin \gamma \cdot \cos \frac{\pi — 2\beta}{2} \cdot \cos \frac{\alpha — (\pi — \alpha)}{2} =$
$= 4 \sin \gamma \cdot \cos \left( \frac{\pi}{2} — \beta \right) \cdot \cos \left( \alpha — \frac{\pi}{2} \right) = 4 \sin \gamma \cdot \sin \beta \cdot \sin \alpha;$

Тождество доказано.

Задача 1: Доказать, что если $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то:

$\sin \alpha + \sin \beta — \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$

Шаг 1: Изменение переменных с использованием условия

Из условия задачи нам известно, что:

$$\alpha + \beta + \gamma = \pi$$

Из этого можно выразить $\gamma$ как:

$$\gamma = \pi — (\alpha + \beta)$$

Таким образом, $\alpha + \beta = \pi — \gamma$.

Шаг 2: Преобразуем правую часть равенства

Нам нужно доказать, что:

$$\sin \alpha + \sin \beta — \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$$

Начнем с правой части. Преобразуем $\cos \frac{\gamma}{2}$ с учетом $\gamma = \pi — (\alpha + \beta)$:

$$\cos \frac{\gamma}{2} = \cos \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$$

Используя тригонометрическую формулу $\cos \left( \frac{\pi}{2} — x \right) = \sin x$, получаем:

$$\cos \frac{\gamma}{2} = \sin \frac{\alpha + \beta}{2}$$

Теперь правую часть можно переписать как:

$$4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\alpha + \beta}{2}$$

Шаг 3: Применяем формулу для синуса суммы

Теперь используем формулу для синуса суммы:

$$\sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}$$

Таким образом, правую часть можно записать как:

$$4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \left( \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \right)$$

Теперь раскроем скобки:

$$= 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2} + 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin^2 \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$$

Шаг 4: Используем тригонометрические тождества для упрощения

Применим тождества $\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$ и преобразуем выражения:

$$= 2 \sin \beta \cdot \frac{1 — \cos \alpha}{2} + 2 \sin \alpha \cdot \frac{1 — \cos \beta}{2}$$

Упрощаем:

$$= \sin \beta \cdot (1 — \cos \alpha) + \sin \alpha \cdot (1 — \cos \beta)$$

Шаг 5: Преобразуем и упрощаем выражение

Теперь раскроем скобки:

$$= \sin \beta — \sin \beta \cos \alpha + \sin \alpha — \sin \alpha \cos \beta$$

Это выражение можно записать как:

$$\sin \alpha + \sin \beta — \sin (\alpha + \beta)$$

Поскольку $\alpha + \beta = \pi — \gamma$, мы получаем:

$$\sin \alpha + \sin \beta — \sin (\pi — \gamma) = \sin \alpha + \sin \beta — \sin \gamma$$

Таким образом, правую часть удалось свести к левой, что доказывает тождество.

Ответ:

$$\sin \alpha + \sin \beta — \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$$

Задача 2: Доказать, что:

$\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

Шаг 1: Изменение переменных с использованием условия

Из условия задачи снова имеем:

$$\alpha + \beta + \gamma = \pi$$

Из этого мы можем выразить $\gamma$ как:

$$\gamma = \pi — (\alpha + \beta)$$

Таким образом, у нас есть три уравнения:

$$\alpha + \beta = \pi — \gamma, \quad \alpha + \gamma = \pi — \beta, \quad \beta + \gamma = \pi — \alpha$$

Шаг 2: Преобразуем левую часть равенства

Нам нужно доказать, что:

$$\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$$

Начнем с левой части. Мы используем формулу для суммы синусов:

$$\sin 2\alpha + \sin 2\beta = 2 \sin \left( \frac{2\alpha + 2\beta}{2} \right) \cos \left( \frac{2\alpha — 2\beta}{2} \right)$$

Применяем формулу для синуса и косинуса:

$$\sin 2\alpha + \sin 2\beta = 2 \sin (\alpha + \beta) \cos (\alpha — \beta)$$

Теперь добавим $\sin 2\gamma$ к полученному выражению:

$$\sin 2\gamma = 2 \sin \gamma \cos \gamma$$

Теперь левая часть выражения становится:

$$2 \sin (\alpha + \beta) \cos (\alpha — \beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma$$

Шаг 3: Преобразуем с учетом $\alpha + \beta = \pi — \gamma$

Подставим $\alpha + \beta = \pi — \gamma$ в выражение:

$$= 2 \sin (\pi — \gamma) \cos (\alpha — \beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma$$

Используем тождество $\sin (\pi — x) = \sin x$:

$$= 2 \sin \gamma \cos (\alpha — \beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma$$

Теперь можем вынести $2 \sin \gamma$:

$$= 2 \sin \gamma \left( \cos (\alpha — \beta) + \cos \gamma \right)$$

Шаг 4: Применяем формулу для суммы косинусов

Применяем формулу для суммы косинусов:

$$\cos x + \cos y = 2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x — y}{2} \right)$$

Применим эту формулу для $\cos (\alpha — \beta) + \cos \gamma$:

$$= 2 \sin \gamma \cdot 2 \cos \frac{\alpha — \beta + \gamma}{2} \cos \frac{\alpha — \beta — \gamma}{2}$$

Это выражение упрощается до:

$$= 4 \sin \gamma \cdot \cos \left( \frac{\pi — 2\beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha — (\pi — \alpha)}{2} \right)$$

Дальше:

$$= 4 \sin \gamma \cdot \sin \beta \cdot \sin \alpha$$

Таким образом, мы получаем, что:

$$\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$$

Ответ:

$$\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$$