ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 656 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (656—665).

1. cos(4-2x)=-1/2;
2. сos(6+3x)=-корень 2/2;
3. корень 2 cos(2x+пи/4) +1=0;
4. 2cos(пи/3 — 3x)- корень 3=0.

$\cos(4 — 2x) = -\frac{1}{2}$;

$$4 — 2x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$-2x = \pm \frac{2\pi}{3} — 4 + 2\pi n;$$ $$x = -\frac{1}{2} \cdot \left( \pm \frac{2\pi}{3} — 4 + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{3} + 2 — \pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 2 — \pi n$.

$\cos(6 + 3x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$6 + 3x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$3x = \pm \frac{3\pi}{4} — 6 + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \cdot \left( \pm \frac{3\pi}{4} — 6 + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{4} — 2 + \frac{2\pi n}{3};$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{4} — 2 + \frac{2\pi n}{3}$.

3. $\sqrt{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) + 1 = 0$;

$$\sqrt{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = -1;$$ $$\cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}};$$ $$2x + \frac{\pi}{4} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$

Первое уравнение:

$$2x = -\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot (-\pi + 2\pi n) = -\frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2x = +\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n$.

$2 \cos \left( \frac{\pi}{3} — 3x \right) — \sqrt{3} = 0$;

$$2 \cos \left( \frac{\pi}{3} — 3x \right) = \sqrt{3};$$ $$\cos \left( \frac{\pi}{3} — 3x \right) = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\frac{\pi}{3} — 3x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \left( \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Первое уравнение:

$$-3x = -\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = -\frac{1}{3} \cdot \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{6} — \frac{2\pi n}{3};$$

Второе уравнение:

$$-3x = +\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$x = -\frac{1}{3} \cdot \left( -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{18} — \frac{2\pi n}{3};$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} — \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{18} — \frac{2\pi n}{3}$.

Задача 1: $\cos(4 — 2x) = -\frac{1}{2}$

Шаг 1: Применяем арккосинус.

Нам нужно решить уравнение $\cos(4 — 2x) = -\frac{1}{2}$. Для этого будем использовать известные значения арккосинуса.

Мы знаем, что:

$$\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \pi — \arccos \left( \frac{1}{2} \right) = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.$$

То есть, $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ при $\theta = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число, и также можно добавить $2\pi n$ для учета периодичности косинуса.

Теперь можно записать:

$$4 — 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Шаг 2: Изолируем $x$.

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$$4 — 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Вычитаем 4 из обеих частей:

$$-2x = \pm \frac{2\pi}{3} — 4 + 2\pi n.$$

Делим обе части на -2:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 — \pi n.$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 — \pi n$.

Задача 2: $\cos(6 + 3x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Применяем арккосинус.

Здесь нам нужно решить уравнение $\cos(6 + 3x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Мы знаем, что:

$$\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \pi — \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.$$

Таким образом, у нас получается:

$$6 + 3x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 2: Изолируем $x$.

Решим это уравнение относительно $x$:

$$6 + 3x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Вычитаем 6 из обеих частей:

$$3x = \pm \frac{3\pi}{4} — 6 + 2\pi n.$$

Теперь делим обе части на 3:

$$x = \frac{1}{3} \left( \pm \frac{3\pi}{4} — 6 + 2\pi n \right).$$

Это даёт:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} — 2 + \frac{2\pi n}{3}.$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} — 2 + \frac{2\pi n}{3}$.

Задача 3: $\sqrt{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) + 1 = 0$

Шаг 1: Изолируем косинус.

Решаем уравнение:

$$\sqrt{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) + 1 = 0.$$

Для начала изолируем косинус:

$$\sqrt{2} \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = -1.$$

Делим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Шаг 2: Применяем арккосинус.

Мы знаем, что:

$$\arccos \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \pi — \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.$$

Таким образом, у нас получается:

$$2x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Изолируем $x$.

Решаем это уравнение относительно $x$:

$$2x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Вычитаем $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей:

$$2x = \pm \frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Упрощаем:

$$2x = \pm \frac{2\pi}{4} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Теперь делим обе части на 2:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Задача 4: $2 \cos \left( \frac{\pi}{3} — 3x \right) — \sqrt{3} = 0$

Шаг 1: Изолируем косинус.

Решаем уравнение:

$$2 \cos \left( \frac{\pi}{3} — 3x \right) — \sqrt{3} = 0.$$

Изолируем косинус:

$$2 \cos \left( \frac{\pi}{3} — 3x \right) = \sqrt{3}.$$

Делим обе части на 2:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} — 3x \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 2: Применяем арккосинус.

Мы знаем, что:

$$\arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{6}.$$

Таким образом, у нас получается:

$$\frac{\pi}{3} — 3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Изолируем $x$.

Решаем это уравнение относительно $x$:

$$\frac{\pi}{3} — 3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Вычитаем $\frac{\pi}{3}$ из обеих частей:

$$-3x = \pm \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \mp \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Теперь делим обе части на -3:

$$x = \frac{1}{3} \cdot \left( \mp \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{18} — \frac{2\pi n}{3}.$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} — \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{18} — \frac{2\pi n}{3}$.

Итоговые ответы:

1. $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 — \pi n$.
2. $x = \pm \frac{\pi}{4} — 2 + \frac{2\pi n}{3}$.
3. $x = -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n$.
4. $x = \frac{\pi}{6} — \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{18} — \frac{2\pi n}{3}$.