ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 725 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3пи]:

1. sinx > 1/2;
2. sinx < =корень 2/2;
3. sinx > =-1/2;
4. sinx < — корень 3/2.

Требуется найти решения неравенства на отрезке $[0;3\pi ]$:

$\mathrm{1.\; sin}x>\frac{1}{2}$;

$$\arcsin \frac{1}{2}+2\pi n<x<\pi -\arcsin \frac{1}{2}+2\pi n;$$$$\frac{\pi }{6}+2\pi n<x<\pi -\frac{\pi }{6}+2\pi n;$$$$\frac{\pi }{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi }{6}+2\pi n;$$

Значения на искомом отрезке:

$$\frac{\pi }{6}<x_1<\frac{5\pi }{6};$$$$\frac{13\pi }{6}<x_2<\frac{17\pi }{6};$$

$\mathrm{2.\; sin}x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$-\pi -\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n\le x\le \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n;$$$$-\pi -\frac{\pi }{4}+2\pi n\le x\le \frac{\pi }{4}+2\pi n;$$$$-\frac{5\pi }{4}+2\pi n\le x\le \frac{\pi }{4}+2\pi n;$$

Значения на искомом отрезке:

$$0\le x_1\le \frac{\pi }{4};$$$$\frac{3\pi }{4}\le x_2\le \frac{9\pi }{4};$$$$\frac{11\pi }{4}\le x_3\le 3\pi ;$$

$\mathrm{3.\; sin}x\ge -\frac{1}{2}$;

$$\arcsin (-\frac{1}{2})+2\pi n\le x\le \pi -\arcsin (-\frac{1}{2})+2\pi n;$$$$-\arcsin \frac{1}{2}+2\pi n\le x\le \pi +\arcsin \frac{1}{2}+2\pi n;$$$$-\frac{\pi }{6}+2\pi n\le x\le \pi +\frac{\pi }{6}+2\pi n;$$$$-\frac{\pi }{6}+2\pi n\le x\le \frac{7\pi }{6}+2\pi n;$$

Значения на искомом отрезке:

$$0\le x_1\le \frac{7\pi }{6};$$$$\frac{11\pi }{6}\le x_2\le 3\pi ;$$

$\mathrm{4.\; sin}x<-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$$-\pi -\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n<x<\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n;$$$$-\pi +\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n<x<-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n;$$$$-\pi +\frac{\pi }{3}+2\pi n<x<-\frac{\pi }{3}+2\pi n;$$$$-\frac{2\pi }{3}+2\pi n<x<-\frac{\pi }{3}+2\pi n;$$

Значения на искомом отрезке:

$$\frac{4\pi }{3}<x_1<\frac{5\pi }{3}$$

Требуется найти решения неравенств с функцией $\sin x$ на отрезке $[0;3\pi ]$

Общие сведения о функции $y=\sin x$

• Функция $\sin x$ — периодическая с периодом $2\pi$.
• На промежутке от $0$ до $2\pi$ синус проходит полный цикл от 0 до 1, обратно до 0, затем до -1 и снова к 0.
• Значения $\sin x$ лежат в интервале $[-1;1]$.
• Для решения неравенств с синусом полезно знать обратную функцию $\arcsin$, которая определена на $[-1;1]$ и принимает значения в промежутке $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.

Основная формула для решения неравенств $\sin x>a$ и $\sin x<a$

На одном периоде $[2\pi n;2\pi (n+1)]$, где $n\in \mathbb{Z}$, для $a\in [-1,1]$ решение неравенств:

• $\sin x>a$ — это промежуток между двумя корнями уравнения $\sin x=a$:

$$\arcsin a+2\pi n<x<\pi -\arcsin a+2\pi n,$$

• $\sin x<a$ — область вне этого промежутка.

1) Неравенство: $\sin x>\frac{1}{2}$

Шаг 1. Найдём значение обратного синуса:

$$\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Запишем решение неравенства для любого периода:

$$\frac{\pi }{6}+2\pi n<x<\pi -\frac{\pi }{6}+2\pi n=\frac{5\pi }{6}+2\pi n\mathrm{.}$$

Шаг 3. Найдём все $n$, при которых эти интервалы попадают в отрезок $[0;3\pi ]$:

• Для $n=0$:

$$\frac{\pi }{6}<x<\frac{5\pi }{6},$$

этот интервал полностью в пределах $[0;3\pi ]$.

• Для $n=1$:

$$\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{\pi }{6}+\frac{12\pi }{6}=\frac{13\pi }{6}<x<\frac{5\pi }{6}+2\pi =\frac{5\pi }{6}+\frac{12\pi }{6}=\frac{17\pi }{6},$$

этот интервал тоже полностью в $[0;3\pi ]$ (так как $3\pi =\frac{18\pi }{6}$).

• Для $n=2$:

$$\frac{\pi }{6}+4\pi >3\pi ,$$

интервал выходит за пределы отрезка.

Итог для пункта 1:

$$\frac{\pi }{6}<x_1<\frac{5\pi }{6};$$$$\frac{13\pi }{6}<x_2<\frac{17\pi }{6}\mathrm{.}$$

2) Неравенство: $\sin x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1. Найдём обратный синус:

$$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Решение неравенства $\sin x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$ — это дополнение к области, где $\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Область $\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}$ находится между корнями уравнения $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\frac{\pi }{4}+2\pi n<x<\pi -\frac{\pi }{4}+2\pi n=\frac{3\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

Тогда решение $\sin x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$ будет:

$$x\le \frac{\pi }{4}+2\pi n\text{или}x\ge \frac{3\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

Шаг 3. Перепишем для удобства, пользуясь периодичностью и учитывая отрезок:

Нам поможет следующая неравенственная форма, эквивалентная исходной:

$$-\pi -\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n\le x\le \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n,$$

или

$$-\frac{5\pi }{4}+2\pi n\le x\le \frac{\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

Шаг 4. Подставим значения $n$, чтобы попасть в $[0;3\pi ]$:

• Для $n=0$:

$$-\frac{5\pi }{4}\le x\le \frac{\pi }{4},$$

учитывая отрезок $[0;3\pi ]$, получается

$$0\le x\le \frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$

• Для $n=1$:

$$-\frac{5\pi }{4}+2\pi =-\frac{5\pi }{4}+\frac{8\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}\le x\le \frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{\pi }{4}+\frac{8\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}\mathrm{.}$$

• Для $n=2$:

$$-\frac{5\pi }{4}+4\pi =-\frac{5\pi }{4}+\frac{16\pi }{4}=\frac{11\pi }{4}\le x\le \frac{\pi }{4}+4\pi =\frac{\pi }{4}+\frac{16\pi }{4}=\frac{17\pi }{4}\mathrm{.}$$

Поскольку $3\pi =\frac{12\pi }{4}$, верхняя граница $\frac{17\pi }{4}$ превышает $3\pi$, поэтому верхняя граница корректируется:

$$\frac{11\pi }{4}\le x\le 3\pi \mathrm{.}$$

Итог для пункта 2:

$$0\le x_1\le \frac{\pi }{4};$$$$\frac{3\pi }{4}\le x_2\le \frac{9\pi }{4};$$$$\frac{11\pi }{4}\le x_3\le 3\pi \mathrm{.}$$

3) Неравенство: $\sin x\ge -\frac{1}{2}$

Шаг 1. Найдём обратный синус:

$$\arcsin (-\frac{1}{2})=-\frac{\pi }{6}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Решение неравенства:

$$\arcsin (-\frac{1}{2})+2\pi n\le x\le \pi -\arcsin (-\frac{1}{2})+2\pi n,$$

то есть

$$-\frac{\pi }{6}+2\pi n\le x\le \pi +\frac{\pi }{6}+2\pi n,$$

или

$$-\frac{\pi }{6}+2\pi n\le x\le \frac{7\pi }{6}+2\pi n\mathrm{.}$$

Шаг 3. Подставим $n$ для отрезка $[0;3\pi ]$:

• Для $n=0$:

$$-\frac{\pi }{6}\le x\le \frac{7\pi }{6}\mathrm{.}$$

Учитывая отрезок, нижняя граница становится 0:

$$0\le x\le \frac{7\pi }{6}\mathrm{.}$$

• Для $n=1$:

$$-\frac{\pi }{6}+2\pi =-\frac{\pi }{6}+\frac{12\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}\le x\le \frac{7\pi }{6}+2\pi =\frac{7\pi }{6}+\frac{12\pi }{6}=\frac{19\pi }{6}\mathrm{.}$$

Поскольку $3\pi =\frac{18\pi }{6}$, верхняя граница корректируется:

$$\frac{11\pi }{6}\le x\le 3\pi \mathrm{.}$$

Итог для пункта 3:

$$0\le x_1\le \frac{7\pi }{6};$$$$\frac{11\pi }{6}\le x_2\le 3\pi \mathrm{.}$$

4) Неравенство: $\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1. Обратный синус:

$$\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$

Шаг 2. Решение неравенства:

$$-\pi -\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n<x<\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n,$$

то есть

$$-\pi +\frac{\pi }{3}+2\pi n<x<-\frac{\pi }{3}+2\pi n,$$

или

$$-\frac{2\pi }{3}+2\pi n<x<-\frac{\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}$$

Шаг 3. Подставляем $n$ для отрезка $[0;3\pi ]$:

• Для $n=1$:

$$-\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{4\pi }{3}<x<-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}\mathrm{.}$$

• Для $n=0$:

$$-\frac{2\pi }{3}<x<-\frac{\pi }{3},$$

вне отрезка.

Итог для пункта 4:

$$\frac{4\pi }{3}<x_1<\frac{5\pi }{3}\mathrm{.}$$