ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 844 Алимов — Подробные Ответы

1) $f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{2-x}} — 3 \cos \frac{x-2}{3}$;

$f'(x) = \sqrt[3]{3} \cdot (2-x)^{-\frac{1}{3}} — 3 \cdot \left( \cos \left( \frac{1}{3} x — \frac{2}{3} \right) \right)’$;

$f'(x) = \sqrt[3]{3} \cdot (-1) \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) \cdot (2-x)^{-\frac{4}{3}} — 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( -\sin \left( \frac{1}{3} x — \frac{2}{3} \right) \right)$;

$f'(x) = \frac{\sqrt[3]{3}}{3(2-x)\sqrt[3]{2-x}} + \sin \frac{x-2}{3}$;

2) $f(x) = 2 \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{(x+2)^3}} — 5 e^{\frac{x-4}{5}}$;

$f'(x) = 2 \cdot \left( (x+2)^{-\frac{3}{4}} \right)’ — 5 \cdot \left( e^{\frac{1}{5} x — \frac{4}{5}} \right)’$;

$f'(x) = 2 \cdot \left( -\frac{3}{4} \right) \cdot (x+2)^{-\frac{7}{4}} — 5 \cdot \frac{1}{5} \cdot e^{\frac{1}{5} x — \frac{4}{5}}$;

$f'(x) = -\frac{3}{2(x+2)^{\frac{7}{4}} \sqrt[4]{(x+2)^3}} — e^{\frac{x-4}{5}}$

1) $f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{2-x}} — 3 \cos \frac{x-2}{3}$

Шаг 1: Находим производную от первой части функции $\sqrt[3]{\frac{3}{2-x}}$

Это выражение представляет собой кубический корень, который можно записать как:

$$f_1(x) = \left( \frac{3}{2 — x} \right)^{\frac{1}{3}}$$

Чтобы найти производную от этого выражения, будем использовать цепное правило. Вначале определим внутреннюю функцию:

$$u(x) = \frac{3}{2 — x}$$

Теперь, для нахождения производной от $u(x)^{\frac{1}{3}}$, используем правило дифференцирования функции вида $u(x)^{n}$, которое имеет вид:

$$\frac{d}{dx}\left( u(x)^{n} \right) = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$$

В нашем случае $n = \frac{1}{3}$, а $u(x) = \frac{3}{2 — x}$, производную от которой мы найдем с помощью правила дифференцирования дроби:

$$u'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{2 — x} \right)$$

Используем правило дифференцирования дроби $\frac{d}{dx} \left( \frac{a}{b(x)} \right) = -\frac{a \cdot b'(x)}{(b(x))^2}$, где $a = 3$, а $b(x) = 2 — x$:

$$u'(x) = -\frac{3 \cdot (-1)}{(2 — x)^2} = \frac{3}{(2 — x)^2}$$

Теперь применяем правило дифференцирования для кубического корня:

$$f_1′(x) = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{3}{2 — x} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{(2 — x)^2}$$

Преобразуем выражение:

$$f_1′(x) = \frac{3}{3(2 — x)^{\frac{2}{3}}(2 — x)^2} = \frac{1}{(2 — x)^{\frac{4}{3}}}$$

Шаг 2: Находим производную от второй части функции $-3 \cos \frac{x-2}{3}$

Теперь рассмотрим вторую часть функции:

$$f_2(x) = -3 \cos \frac{x-2}{3}$$

Для нахождения производной используем цепное правило для косинуса:

$$\frac{d}{dx} \left( \cos u(x) \right) = -\sin u(x) \cdot u'(x)$$

Здесь $u(x) = \frac{x-2}{3}$, и его производная:

$$u'(x) = \frac{1}{3}$$

Теперь применим цепное правило:

$$f_2′(x) = -3 \cdot \left( -\sin \left( \frac{x-2}{3} \right) \right) \cdot \frac{1}{3} = \sin \frac{x-2}{3}$$

Шаг 3: Составляем полную производную

Теперь можем составить полную производную функции $f(x)$, сложив найденные производные:

$$f'(x) = \frac{1}{(2 — x)^{\frac{4}{3}}} + \sin \frac{x-2}{3}$$

2) $f(x) = 2 \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{(x+2)^3}} — 5 e^{\frac{x-4}{5}}$

Шаг 1: Находим производную от первой части функции $2 \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{(x+2)^3}}$

Запишем это выражение в более удобной форме:

$$f_1(x) = 2 \cdot \left( \frac{1}{(x+2)^3} \right)^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot (x+2)^{-\frac{3}{4}}$$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования степенной функции $u(x)^n$:

$$\frac{d}{dx} \left( u(x)^n \right) = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$$

В нашем случае $n = -\frac{3}{4}$, а $u(x) = x+2$, производная от которого равна 1:

$$f_1′(x) = 2 \cdot \left( -\frac{3}{4} \right) \cdot (x+2)^{-\frac{7}{4}} = -\frac{3}{2} \cdot (x+2)^{-\frac{7}{4}}$$

Шаг 2: Находим производную от второй части функции $-5 e^{\frac{x-4}{5}}$

Для второй части функции, используя правило дифференцирования экспоненциальной функции, получаем:

$$\frac{d}{dx} \left( e^{u(x)} \right) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$$

Здесь $u(x) = \frac{x-4}{5}$, и его производная:

$$u'(x) = \frac{1}{5}$$

Теперь находим производную от $-5 e^{\frac{x-4}{5}}$:

$$f_2′(x) = -5 \cdot \frac{1}{5} \cdot e^{\frac{x-4}{5}} = -e^{\frac{x-4}{5}}$$

Шаг 3: Составляем полную производную

Теперь составим полную производную:

$$f'(x) = -\frac{3}{2} \cdot (x+2)^{-\frac{7}{4}} — e^{\frac{x-4}{5}}$$

Ответы:

1. $f'(x) = \frac{1}{(2 — x)^{\frac{4}{3}}} + \sin \frac{x-2}{3}$
2. $f'(x) = -\frac{3}{2} \cdot (x+2)^{-\frac{7}{4}} — e^{\frac{x-4}{5}}$