ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 890 Алимов — Подробные Ответы

Найти уравнения касательных к графику функции y=1×3/3 — 5×2/2, параллельных y=6x.

$$y = \frac{1}{3} x^3 — \frac{5}{2} x^2;$$ $$k = y'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^3)’ — \frac{5}{2} \cdot (x^2)’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — \frac{5}{2} \cdot 2x = x^2 — 5x;$$

Точки, в которых касательная параллельна прямой $y = 6x$:

$$x^2 — 5x = 6;$$ $$x^2 — 5x — 6 = 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6;$$

Уравнение первой касательной:

$$y'(-1) = (-1)^2 — 5 \cdot (-1) = 1 + 5 = 6;$$ $$y(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 — \frac{5}{2} \cdot (-1)^2 = -\frac{1}{3} — \frac{5}{2} = -\frac{2}{6} — \frac{15}{6} = -\frac{17}{6} = -2 \frac{5}{6};$$ $$y = -2 \frac{5}{6} + 6 \cdot (x + 1) = -2 \frac{5}{6} + 6x + 6 = 6x + 3 \frac{1}{6};$$

Уравнение второй касательной:

$$y'(6) = 6^2 — 5 \cdot 6 = 36 — 30 = 6;$$ $$y(6) = \frac{1}{3} \cdot 6^3 — \frac{5}{2} \cdot (6^2) = \frac{216}{3} — \frac{5 \cdot 36}{2} = 72 — 90 = -18;$$ $$y = -18 + 6 \cdot (x — 6) = -18 + 6x — 36 = 6x — 54;$$

Ответ: $y = 6x + 3 \frac{1}{6}; \quad y = 6x — 54.$

Дано:

• Функция: $y = \frac{1}{3} x^3 — \frac{5}{2} x^2$
• Необходимо найти уравнения касательных к графику функции, которые параллельны прямой $y = 6x$.

Шаг 1: Находим производную функции

Для нахождения касательных нужно найти производную функции, которая даст нам угловой коэффициент касательной в любой точке. Функция $y = \frac{1}{3} x^3 — \frac{5}{2} x^2$ является полиномиальной, и ее производная будет вычисляться по стандартным правилам дифференцирования.

$$y'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^3)’ — \frac{5}{2} \cdot (x^2)’$$

Дифференцируем каждую часть:

• Производная от $x^3$ по правилу $(x^n)’ = n x^{n-1}$:

$$(x^3)’ = 3x^2$$

• Производная от $x^2$:

$$(x^2)’ = 2x$$

Теперь подставляем:

$$y'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — \frac{5}{2} \cdot 2x$$ $$y'(x) = x^2 — 5x$$

Таким образом, производная функции $y'(x) = x^2 — 5x$.

Шаг 2: Найдем точки, где касательная параллельна прямой $y = 6x$

Прямая $y = 6x$ имеет угловой коэффициент (производную) равный 6. Касательная к графику функции будет параллельна этой прямой в тех точках, где производная функции равна 6. Таким образом, мы должны решить следующее уравнение:

$$y'(x) = 6$$

Подставляем производную функции $y'(x) = x^2 — 5x$:

$$x^2 — 5x = 6$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$x^2 — 5x — 6 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта.

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

Для уравнения $x^2 — 5x — 6 = 0$ находим дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac$$

Здесь $a = 1$, $b = -5$, и $c = -6$, поэтому:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Находим их с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = -5$, $D = 49$, и $a = 1$:

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

Таким образом, точки $x_1 = -1$ и $x_2 = 6$ — это те точки, в которых касательная будет параллельна прямой $y = 6x$.

Шаг 4: Находим уравнение первой касательной (в точке $x_1 = -1$)

Теперь, когда мы нашли точку пересечения касательной с прямой, нужно найти уравнение касательной. Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$ имеет вид:

$$y = y_0 + y'(x_0) \cdot (x — x_0)$$

Где $y_0$ — это значение функции в точке $x_0$, а $y'(x_0)$ — это производная в этой точке. Для точки $x_1 = -1$:

Находим производную в точке $x_1 = -1$:

$$y'(-1) = (-1)^2 — 5 \cdot (-1) = 1 + 5 = 6$$

Теперь находим значение функции в точке $x_1 = -1$:

$$y(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 — \frac{5}{2} \cdot (-1)^2 = -\frac{1}{3} — \frac{5}{2}$$ $$y(-1) = -\frac{1}{3} — \frac{15}{6} = -\frac{2}{6} — \frac{15}{6} = -\frac{17}{6} = -2 \frac{5}{6}$$

Теперь, подставив значения в уравнение касательной:

$$y = -2 \frac{5}{6} + 6 \cdot (x + 1)$$

Раскрываем скобки:

$$y = -2 \frac{5}{6} + 6x + 6 = 6x + 3 \frac{1}{6}$$

Уравнение первой касательной:

$$y = 6x + 3 \frac{1}{6}$$

Шаг 5: Находим уравнение второй касательной (в точке $x_2 = 6$)

Теперь найдем уравнение касательной в точке $x_2 = 6$.

Находим производную в точке $x_2 = 6$:

$$y'(6) = 6^2 — 5 \cdot 6 = 36 — 30 = 6$$

Находим значение функции в точке $x_2 = 6$:

$$y(6) = \frac{1}{3} \cdot 6^3 — \frac{5}{2} \cdot 6^2 = \frac{216}{3} — \frac{5 \cdot 36}{2} = 72 — 90 = -18$$

Теперь, подставив значения в уравнение касательной:

$$y = -18 + 6 \cdot (x — 6)$$

Раскрываем скобки:

$$y = -18 + 6x — 36 = 6x — 54$$

Уравнение второй касательной:

$$y = 6x — 54$$

Ответ:

1. Уравнение первой касательной: $y = 6x + 3 \frac{1}{6}$
2. Уравнение второй касательной: $y = 6x — 54$