ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1309 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$\frac{\sqrt{2} — \cos x — \sin x}{\sin x — \cos x} = \frac{\sqrt{2} — \left( \sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + \sin x \right)}{\sin x — \sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right)} =$$ $$= \frac{\sqrt{2} — 2 \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{2} — x + x}{2} \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{2} — x — x}{2}}{2 \cdot \sin \frac{x — \frac{\pi}{2} + x}{2} \cdot \cos \frac{x + \frac{\pi}{2} — x}{2}} = \frac{\sqrt{2} — 2 \cdot \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} — x \right)}{2 \cdot \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \frac{\pi}{4}} =$$ $$= \frac{\sqrt{2} — 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} — x \right)}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sqrt{2} — \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} — x \right)}{\sqrt{2} \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{1 — \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right)}{\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)};$$

Ответ:

$$\frac{1 — \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right)}{\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)}.$$

2)

$$\frac{1 + \cos x + \sin x + \operatorname{tg} x}{\sin x + \cos x} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin x \cdot \cos x + \frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x \cdot (\sin x + \cos x)} =$$ $$= \frac{(\cos x + \sin x) + \cos x \cdot (\sin x + \cos x)}{\cos x \cdot (\sin x + \cos x)} = \frac{1 + \cos x}{\cos x} = 1 + \frac{1}{\cos x};$$

Ответ:

$$1 + \frac{1}{\cos x}.$$

Задача 1:

Упростим выражение:

$$\frac{\sqrt{2} — \cos x — \sin x}{\sin x — \cos x}$$

Шаг 1: Применим формулы для преобразования выражений

Для удобства преобразуем части числителя и знаменателя, используя тригонометрические формулы. В частности, заметим, что можно выразить $\cos x$ и $\sin x$ через сдвиг угла.

Используем формулы для $\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right)$ и $\cos \left( \frac{\pi}{2} — x \right)$, которые равны:

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) = \cos x \quad \text{и} \quad \cos \left( \frac{\pi}{2} — x \right) = \sin x$$

Подставим эти выражения в исходное выражение:

$$\frac{\sqrt{2} — \left( \sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + \sin x \right)}{\sin x — \sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right)}$$

Заменим $\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right)$ на $\cos x$, получаем:

$$\frac{\sqrt{2} — (\cos x + \sin x)}{\sin x — \cos x}$$

Шаг 2: Преобразуем числитель и знаменатель

Теперь числитель можно переписать так:

$$\sqrt{2} — \cos x — \sin x$$

А знаменатель:

$$\sin x — \cos x$$

Шаг 3: Применение формул произведений синусов и косинусов

Для упрощения далее воспользуемся формулами для произведений тригонометрических функций. Например, формула для суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin \frac{A + B}{2} \cdot \cos \frac{A — B}{2}$$

И аналогично для разности:

$$\sin A — \sin B = 2 \cdot \cos \frac{A + B}{2} \cdot \sin \frac{A — B}{2}$$

Применяя эти формулы, преобразуем выражение следующим образом:

Числитель:

$$\sqrt{2} — 2 \cdot \sin \left( \frac{x + \left( \frac{\pi}{2} — x \right)}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\left( \frac{\pi}{2} — x \right) — x}{2} \right)$$

Знаменатель:

$$2 \cdot \sin \left( \frac{x + \left( \frac{\pi}{2} — x \right)}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\left( \frac{\pi}{2} — x \right) — x}{2} \right)$$

Таким образом, знаменатель можно упростить до:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 4: Упрощаем дробь

Теперь можем упростить дробь, сокращая на $\sqrt{2}$:

$$\frac{1 — \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right)}{\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)}$$

Ответ:

$$\frac{1 — \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right)}{\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)}$$

Задача 2:

Упростим выражение:

$$\frac{1 + \cos x + \sin x + \operatorname{tg} x}{\sin x + \cos x}$$

Шаг 1: Разделим числитель

Рассмотрим числитель более подробно:

$$1 + \cos x + \sin x + \operatorname{tg} x = 1 + \cos x + \sin x + \frac{\sin x}{\cos x}$$

Шаг 2: Преобразуем выражение

Теперь преобразуем числитель:

$$= \cos x + \cos^2 x + \sin x \cdot \cos x + \frac{\sin x}{\cos x}$$

Преобразуем дробь в числителе и выразим через $\sin x$ и $\cos x$.

Шаг 3: Разделим числитель и знаменатель

Теперь поделим числитель на знаменатель:

$$\frac{(\cos x + \sin x) + \cos x \cdot (\sin x + \cos x)}{\cos x \cdot (\sin x + \cos x)}$$

Сократим на $\cos x$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{1 + \cos x}{\cos x} = 1 + \frac{1}{\cos x}$$

Ответ:

$$1 + \frac{1}{\cos x}$$

Окончательные ответы:

1. $\frac{1 — \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right)}{\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)}$
2. $1 + \frac{1}{\cos x}$