ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 702 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что функция y=f(x) является периодической с периодом 2пи, если:

1. y=cosx-1;
2. y=sinx+1;
3. y=3sinx;
4. y=cosx/2;
5. y=sin(x-пи/4);
6. y=cos(x+2пи/3).

1. $y = \cos x — 1$;
   $y(x + 2\pi) = \cos(x + 2\pi) — 1 = \cos x — 1 = y(x)$;
2. $y = \sin x + 1$;
   $y(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) + 1 = \sin x + 1 = y(x)$;
3. $y = 3 \sin x$;
   $y(x + 2\pi) = 3 \sin(x + 2\pi) = 3 \sin x = y(x)$;
4. $y = \frac{\cos x}{2}$;
   $y(x + 2\pi) = \frac{\cos(x + 2\pi)}{2} = \frac{\cos x}{2} = y(x)$;
5. $y = \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$;
   $y(x + 2\pi) = \sin \left( x + 2\pi — \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( 2\pi + \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \right) = \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = y(x)$;
6. $y = \cos \left( x + \frac{2\pi}{3} \right)$;
   $y(x + 2\pi) = \cos \left( x + 2\pi + \frac{2\pi}{3} \right) = \cos \left( 2\pi + \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) \right) = \cos \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) = y(x)$;

Обозначение: функция $y(x)$ называется периодической с периодом $T$, если для всех $x$:

$$y(x + T) = y(x)$$

1) $y = \cos x — 1$

Шаг 1: Найдём $y(x + 2\pi)$:

$$y(x + 2\pi) = \cos (x + 2\pi) — 1$$

Шаг 2: Используем периодичность косинуса:

$$\cos (x + 2\pi) = \cos x$$

Шаг 3: Тогда

$$y(x + 2\pi) = \cos x — 1 = y(x)$$

Вывод: функция $y$ периодична с периодом $2\pi$.

2) $y = \sin x + 1$

Шаг 1: Вычислим $y(x + 2\pi)$:

$$y(x + 2\pi) = \sin (x + 2\pi) + 1$$

Шаг 2: Синус периодичен с периодом $2\pi$:

$$\sin (x + 2\pi) = \sin x$$

Шаг 3: Значит

$$y(x + 2\pi) = \sin x + 1 = y(x)$$

Вывод: функция $y$ периодична с периодом $2\pi$.

3) $y = 3 \sin x$

Шаг 1: Рассмотрим $y(x + 2\pi)$:

$$y(x + 2\pi) = 3 \sin (x + 2\pi)$$

Шаг 2: По свойству синуса:

$$\sin (x + 2\pi) = \sin x$$

Шаг 3: Следовательно,

$$y(x + 2\pi) = 3 \sin x = y(x)$$

Вывод: функция $y$ периодична с периодом $2\pi$.

4) $y = \frac{\cos x}{2}$

Шаг 1: Вычислим $y(x + 2\pi)$:

$$y(x + 2\pi) = \frac{\cos (x + 2\pi)}{2}$$

Шаг 2: Косинус периодичен с периодом $2\pi$:

$$\cos (x + 2\pi) = \cos x$$

Шаг 3: Значит,

$$y(x + 2\pi) = \frac{\cos x}{2} = y(x)$$

Вывод: функция $y$ периодична с периодом $2\pi$.

5) $y = \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$

Шаг 1: Рассмотрим $y(x + 2\pi)$:

$$y(x + 2\pi) = \sin \left( x + 2\pi — \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 2: Представим аргумент как сумму:

$$= \sin \left( 2\pi + \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \right)$$

Шаг 3: Синус периодичен с периодом $2\pi$:

$$\sin (2\pi + \theta) = \sin \theta$$

Шаг 4: Следовательно,

$$y(x + 2\pi) = \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = y(x)$$

Вывод: функция $y$ периодична с периодом $2\pi$.

6) $y = \cos \left( x + \frac{2\pi}{3} \right)$

Шаг 1: Вычислим $y(x + 2\pi)$:

$$y(x + 2\pi) = \cos \left( x + 2\pi + \frac{2\pi}{3} \right)$$

Шаг 2: Представим аргумент как сумму:

$$= \cos \left( 2\pi + \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) \right)$$

Шаг 3: Косинус периодичен с периодом $2\pi$:

$$\cos (2\pi + \theta) = \cos \theta$$

Шаг 4: Значит,

$$y(x + 2\pi) = \cos \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) = y(x)$$

Вывод: функция $y$ периодична с периодом $2\pi$.